Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 64661

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có cạnh đáy bằng a, gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AA', AB, BC. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (C'AI) và (ABC) bằng \dpi{100} 60^{o}. Tính \dpi{100} V_{C'NAI} và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC'

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có cạnh đáy bằng a, gọi M, N, I lần lượt là trung

Câu hỏi

Nhận biết

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có cạnh đáy bằng a, gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AA', AB, BC. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (C'AI) và (ABC) bằng \dpi{100} 60^{o}. Tính \dpi{100} V_{C'NAI} và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC'


A.
\dpi{100} V_{C'NAI}=\frac{a^{3}}{32}; \dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{2a\sqrt{3}}{8}
B.
\dpi{100} V_{C'NAI}= \frac{3a^{3}}{32};\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{a\sqrt{3}}{8}
C.
\dpi{100} V_{C'NAI}=\frac{a^{3}}{32}; \dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{a\sqrt{3}}{8}
D.
\dpi{100} V_{C'NAI}= \frac{3a^{3}}{32};\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{2a\sqrt{3}}{8}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Xét tam giác C'CI vuông tại C: có góc I = \dpi{100} 60^{o}

CI =BC/2 = a/2

=> tan 60 = \dpi{100} \frac{CC'}{CI}

=> CC' = CI .tan 60 = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2} = h

Xét tam giác NAI có: AN = AB/2 =a/2

=> AI = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}; \dpi{100} \widehat{A}=30^{0}

=> \dpi{100} S_{NAI}=\frac{1}{2}.AN.AI.sin30=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{16}

=> \dpi{100} V_{C'NAI}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}a^{2}}{16}=\frac{a^{3}}{32}

Gọi O là giao điểm cuả AC' và A'C

=> MO = // NI//=AC/2

=> MNIO là hình bình hành => MI //IO

Có IO, AC' \dpi{100} \subset (C'AI)

=>\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}= d_{MN\rightarrow (C'AI)}=d_{N\rightarrow (C'AI)}

\dpi{100} \frac{d_{N\rightarrow (C'AI)}}{d_{C\rightarrow (C'AI)}}=\frac{GN}{GC}=\frac{1}{2}

=> \dpi{100} d_{N\rightarrow (C'AI)}=\frac{1}{2}d_{C\rightarrow (C'AI)}

- Dựng và tính khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (C'AI)

- Kẻ CK ⊥ AI ( K≡ I )

Kẻ CH ⊥ C'K 

=> \dpi{100} d_{C,(C'AI)}=CH

Xét tam giác vuông C'CI vuông tại C

Có: CC' = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}; CI = a/2

=> \dpi{100} \frac{1}{CH^{2}}=\frac{1}{CC'^{2}}+\frac{1}{CI^{2}}=\frac{16}{3a^{2}}

=> \dpi{100} CH = \frac{a\sqrt{3}}{4} = \dpi{100} d_{(C\rightarrow (C'AI))}

=> \dpi{100} d_{N\rightarrow (C'AI)}=\frac{1}{2}d_{C\rightarrow (C'AI)} = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{8} 

=> \dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{a\sqrt{3}}{8}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết