Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12632

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt ph

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.


A.
a. VABC.A’B’C’ = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{7a}{12}.
B.
a. VABC.A’B’C’ = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{5a}{12}.
C.
a. VABC.A’B’C’ = \frac{3a^{3}\sqrt{3}}{8}; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{7a}{12}.
D.
a. VABC.A’B’C’ = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}; mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{a}{12}.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H là trung điểm của BC, theo gải thiết ta có:

(A’BC) ∩(ABC) = BC và A’H⊥BC và AH⊥BC

=>g((A’BC),(ABC)) = \widehat{A'HC} = 600

a.Tính thể tích khối lăng trụ : Ta có: VABC.A’B’C’ = S∆ABC.AA’ (1)

trong đó : S∆ABC = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}            (2)

AA’ = AH.tan\widehat{A'HA} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.tan600 = \frac{3a}{2}           (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta được: VABC.A’B’C’ = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}.3

b.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC: Ta có:

+Gọi I là hình chiếu vuông góc của G trên (ABC), suy ra I là trọng tâm ∆ABC nên GI là trục đường tròn của ∆ABC.

+Gọi M là trung điểm của GA và trong mặt phẳng (AGH) dựng đường trung trực Mx của GA. Khi đó , Mx cắt GI tại J thì J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.

Nhận xét rằng: GM.GA = GJ.GI 

⇔ GJ = \frac{GM.GA}{GI} = \frac{GA^{2}}{2GI}= \frac{GI^{2}+AI^{2}}{2GI}= \frac{7a}{12}

Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có bán kính R = \frac{7a}{12}.

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết