Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' = 2a; AB = AC = a (a > 0) và góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC) theo a biết rằng hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' = 2a; AB = AC = a (a > 0) và góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC) theo a biết rằng hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
; d = 
; d = 
; d = 
; d = 
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Theo bài ra góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60o nên góc A'AH = 60o và do AA'= 2a nên A'H= a√3 là một đường cao của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và AH = a.
Mặt khác tam giác ABC cân tại A nên nếu gọi M là trung điểm của cạnh BC thì đoạn AM là 1 đường cao của tam giác ABC và AM < AC = AB = AH = a nên H nằm ngoài tam giác ABC và nằm trên tia đối của tia AM suy ra A là trọng tâm của tam giác HBC.
Khi đó ta có AM = 
=> BC= 2MC = a√3
=> SABC = 
.BC.AM = 
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V = A'H SABC =
Nối A'M ,ta có (A'HM) ⊥ BC khi đó kẻ HK ⊥ A'M, K ∈ A'M thì HK ⊥ (A'BC) nên d(H; (A'BC)) = HK. Ta có:
=>....=> HK = 
Suy ra khoảng cách d(H, (A'BC)) =
Ta lại có 
= 
= 3
Vậy khoảng cách d(A; (A'BC)) = .
Theo bài ra góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60o nên góc A'AH = 60o và do AA'= 2a nên A'H= a√3 là một đường cao của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và AH = a.
Mặt khác tam giác ABC cân tại A nên nếu gọi M là trung điểm của cạnh BC thì đoạn AM là 1 đường cao của tam giác ABC và AM < AC = AB = AH = a nên H nằm ngoài tam giác ABC và nằm trên tia đối của tia AM suy ra A là trọng tâm của tam giác HBC.
Khi đó ta có AM = => BC= 2MC = a√3
=> SABC = .BC.AM =
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V = A'H SABC =
Nối A'M ,ta có (A'HM) ⊥ BC khi đó kẻ HK ⊥ A'M, K ∈ A'M thì HK ⊥ (A'BC) nên d(H; (A'BC)) = HK. Ta có:
=>....=> HK =
Suy ra khoảng cách d(H, (A'BC)) =
Ta lại có = = 3
Vậy khoảng cách d(A; (A'BC)) = .
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Giải phương trình:
-
Giải phương trình
=
-
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo.