Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 42330

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại C. M là trung điểm A'C'. Biết AC = a, BC = a√3, mặt phẳng (ABC') hợp với mặt phẳng (ABC) góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách AM và BC' theo a .

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại C. M là trung điểm A'C'. Biết

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại C. M là trung điểm A'C'. Biết AC = a, BC = a√3, mặt phẳng (ABC') hợp với mặt phẳng (ABC) góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách AM và BC' theo a .


A.
VABC.A’B’C = \frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4} ; d = \frac{a}{\sqrt{40}} 
B.
VABC.A’B’C = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3} ; d = \frac{3a}{\sqrt{43}} 
C.
VABC.A’B’C = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4} ; d = \frac{3a}{\sqrt{43}} 
D.
VABC.A’B’C = \frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4} ; d = \frac{3a}{\sqrt{43}} 
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có 

VABC.A’B’C  = SABC.CC’

SABC = \frac{1}{2}.CA.CB = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

(ABC') ∩ (ABC) = AB

Kẻ CH ⊥ AB = H => AB ⊥ (CC'H)

=> 600 = ((ABC’), (ABC)) = (CH, HC’) = \widehat{CHC'}

Xét tam giác vuông ABC có CH là chiều cao nên 

\frac{1}{CH^{2}} = \frac{1}{CA^{2}} + \frac{1}{CB^{2}} = \frac{1}{3a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{3a^{2}} => CH = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Xét tam giác vuông CHC' có 

CC' = HC.tan600 = \frac{3a}{2} =>VABC.A’B’C = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}. \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4}  (đvtt)

Gọi N là trung điểm của AC thì AM // C'N nên AM // (BC'N)

d(AM, BC’) = d(AM, (BC’N))  = d(A, (BC’N)). N là trung điểm của AC

Nên  d(A, (BC’N)) =  d(C, (BC’N)).

Ta có 

\frac{1}{d_{(C,BC'N)}} = \frac{1}{CN^{2}} + \frac{1}{CB^{2}} + \frac{1}{CC'^{2}} = \frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{3a^{2}}+\frac{4}{9a^{2}} = \frac{43}{9a^{2}} 

=> d(C, (BC’N)) = \frac{3a}{\sqrt{43}} . Vậy khoảng cách d cần tìm là \frac{3a}{\sqrt{43}} .

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết