Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3044

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật , AB = a√3, AA’ =AC = 2a√3. Hình chiếu của B xuống (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của B’D’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và góc giữa hai đường thẳng AC và BB’.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật , AB = a√3, AA’ =AC =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật , AB = a√3, AA’ =AC = 2a√3. Hình chiếu của B xuống (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của B’D’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và góc giữa hai đường thẳng AC và BB’.


A.
VABCD.A’B’C’D’ = 9a3√3, cos(\widehat{AC,BB'})  = \frac{1}{4}
B.
VABCD.A’B’C’D’ = 7a3√3, cos(\widehat{AC,BB'})  = \frac{1}{4}
C.
VABCD.A’B’C’D’ = 9a3√3, cos(\widehat{AC,BB'}) = -\frac{1}{4}
D.
VABCD.A’B’C’D’ = 8a3√3, cos(\widehat{AC,BB'}) = -\frac{1}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Trong tam giác  vuông ABC ta có

BC = \sqrt{AC^{2}-AB^{2}} = \sqrt{12a^{2}-3a^{2}} = 3a.

Gọi O là trung điểm của  B’D’ thì O là tâm của hình chữ nhật A’B’C’D’.

Khi đó BO ⊥(A’B’C’D’).

Trong tam giác vuông BOB’ ta có BO =\sqrt{BB'^{2}-B'O^{2}}  = \sqrt{12a^{2}-3a^{2}} = 3a.

Từ đó suy ra VABCD.A’B’C’D’ =AB.BC.BO = a√3.3a.3a = 9a3√3.

Vì BO ⊥ (ABCD) => BO ⊥AB.

Trong tam giác ABO vuông  tại B ta có

AO = \sqrt{AB^{2}+BO^{2}} = \sqrt{3a^{2}+9a^{2}} = 2a√3.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AA’O ta có

cos\widehat{AA'O} = \frac{A'A^{2}+A'O^{2}-AO^{2}}{2A'A.A'O} = \frac{12a^{2}+3a^{2}-12a^{2}}{22a\sqrt{3}.a\sqrt{3}} = \frac{1}{4}.

Suy ra cos(\widehat{AC,BB'}) = |COS\widehat{AA'O}| = \frac{1}{4}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết