Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 56135

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC,  mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN  và mp(ABCD) bằng 300. 

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC,  mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN  và mp(ABCD) bằng 300. 


A.
VMNABCD = \frac{7\sqrt{3}a^{3}}{24}   .
B.
VMNABCD = \frac{5\sqrt{3}a^{3}}{12}   .
C.
VMNABCD = \frac{5\sqrt{3}a^{3}}{24}   .
D.
VMNABCD = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{24}   .
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.

 Vì G là trọng tâm tam giác SAC nên dễ có

\frac{SG}{SO}=\frac{2}{3} suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.

  Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của  SC, SD.

Có:. VS.ABD = VS.BCD = \frac{1}{2}VS.ABCD =\frac{1}{2} V

 Theo công thức tỷ số thể tích ta có:

\frac{V_{S.ABN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SB}{SB}.\frac{SN}{SD} = 1.1.\frac{1}{2} = \frac{1}{2} => VS.ABN = \frac{1}{4}V

\frac{V_{S.BMN}}{V_{S.BCD}}=\frac{SB}{SB}.\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SD} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4} => VS.ABN = \frac{1}{8}V 

Từ đó suy ra:

VS.ABMN = VS.ABN +  VS.BMN = \frac{3}{8}V

 Ta có: V = \frac{1}{3}SAdt (ABCD); mà theo giả thiết SA \perp (ABCD) nên góc hợp bởi AN với

mp(ABCD) chính là góc \widehat{NAD}, lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy ra \widehat{NAD} = \widehat{NDA}=30°,  Suy ra: AD = \frac{SA}{tan30^{0}} = a√3

Suy ra: V = \frac{1}{3} SAdt (ABCD) =\frac{1}{3} a.a.a.√3 = \frac{\sqrt{3}}{3}.  a3       3

Suy ra: thể tích cần tìm là: VMNABCD =VS.ABCD - VS.ABMN =V - \frac{3}{8}V =\frac{5}{8}V = \frac{5\sqrt{3}a^{3}}{24}   .

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết