Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 4786

Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C (\widehat{ACB} = 900). Cạnh bên SA của hình chóp vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a. Gọi góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là α . Tìm α để thể tích hình chóp có giá trị lớn nhất.  

Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C (

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C (\widehat{ACB} = 900). Cạnh bên SA của hình chóp vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a. Gọi góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là α . Tìm α để thể tích hình chóp có giá trị lớn nhất.  


A.
α ∈ (0 ; \frac{\pi}{2})
B.
α ∈ (0 ; \frac{\pi }{6})
C.
α ∈ (0 ; \frac{\pi }{4})
D.
α ∈ (0 ; \frac{\pi }{3})
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có VSABC = \frac{1}{3}S∆ABC.SA.

Xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và ( ABC):

Ta có: BC ⊥ AC => BC⊥SC (theo định lí 3 đường vuông góc)

=>BC⊥(SAC) mà BC = (SBC) ∩ (ABC) => \widehat{SCA} = (\widehat{(SBC);(ABC)})

( góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( SBC))

Đặt  = α; ∆SAC => SA = SC.sinα = asinα; AC = SC.cosα = a.cosα

VSABC = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}CA.CB.SA = \frac{1}{6}.acosα.acosα.asinα = \frac{1}{6}a3.sinα.cos2α.

Để tìm giá trị lớn nhất của V ta xét hàm số: f(α) = sinα.cos2α; α ∈ ( 0; \frac{\pi}{2} )

f’(α) = cos3α – 2cosαsin2α

        =  cosα( cos2α – 2 + 2cos2α ); α ∈ ( 0; \frac{\pi}{2} )

        = cosα(3cos2α - 2)

        = 3cosα ( cosα - \sqrt{\frac{2}{3}} )( cosα + \sqrt{\frac{2}{3}} ); α ∈ ( 0; \frac{\pi}{2})

f’(α) = 0 ⇔ cosα = 0; cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} ;cosα = -\sqrt{\frac{2}{3}} ;cosα = -\sqrt{\frac{2}{3}} => α \notin (0; \frac{\pi}{2}) nên loại.

\lim_{\alpha\rightarrow 0} f(α)  = 0 ; \lim_{\alpha\rightarrow \frac{\pi}{2}} f(α) = 0; f(arccos\sqrt{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}.\sqrt{\frac{1}{3}}

và hàm số là hàm số liên tục trên ( 0 ; \frac{\pi}{2} ) nên \begin{matrix}GTLN\\\alpha\in(0;\frac{\pi}{2})\end{matrix} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}}

Kết luận : VSABC = \frac{1}{6}a3 \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} đạt GTLN khi α ∈ (0 ; \frac{\pi}{2}) và cosα = \sqrt{\frac{2}{3}}

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết