Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39362

Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a có \tiny \widehat{BAD}  = 120o. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cotα = 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a có \tiny \widehat{BAD}  = 120o. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cotα = 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.


A.
VS.ABCD = \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}, d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}
B.
VS.ABCD = \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}  , d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}
C.
VS.ABCD = \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}, d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{3}
D.
VS.ABCD =  \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}, d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi O = AC ∩ BD. Từ giả thiết suy ra AC ⊥ (SBD) tại O nên

 \tiny \angleASO = \tiny \angle(SA;(SBD) = α.

\tiny \angleBAD = 120o  => \tiny \angleADC = 60o

=> ∆ADC đều cạnh a.

Suy ra SABCD = 2SADC = \tiny \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} và DO = \tiny \frac{a\sqrt{3}}{2}, AO = \tiny \frac{a}{2}.

Do đó SO = AO.cotα = \tiny \frac{3a}{2} => SD = \tiny \sqrt{SO^{2}-OD^{2}} = \tiny \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Suy ra VS.ABCD = \tiny \frac{1}{3}SD.SABCD = \tiny \frac{a^{3}}{2\sqrt{2}} = \tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}.

Kẻ DH ⊥ SO. Vì AC ⊥ (SBD) nên AC ⊥ DH. Suy ra DH ⊥ (SAC)

Ta có ∆SDO vuông tại D nên DH = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}

Vì O là trung điểm BD nên d(B; (SAC)) = d(D; (SAC))

Từ đó ta suy ra d(B; (SAC)) = \tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết