Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1297

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại S, góc \widehat{SDC}= 30o , hình chiếu của S xuống (ABCD) nằm trên cạnh CD. Gọi M là trung điểm của SA. Tính thể tích khối chóp MABD và góc giữa hai đường thẳng AC và DM.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại S, góc \widehat{SDC}= 30o , hình chiếu của S xuống (ABCD) nằm trên cạnh CD. Gọi M là trung điểm của SA. Tính thể tích khối chóp MABD và góc giữa hai đường thẳng AC và DM.


A.
VMADB= \frac{2a^{3}}{9}(đvtt) cos(\widehat{DM,AC})=\frac{\sqrt{13}}{22}
B.
VMADB=\frac{12a^{3}}{\sqrt{7}}(đvtt) cos(\widehat{DM,AC})=\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
VMADB=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48} (đvtt) cos(\widehat{DM,AC})=\frac{\sqrt{14}}{28}
D.
VMADB= \frac{3a^{3}}{16}(đvtt) cos(\widehat{DM,AC})=\frac{3\sqrt{3}}{28}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

 

Gọi H là hình chiếu của S lên CD. Khi đó SH⊥ (ABCD).

Trong tam giác giác vuông SCD ta có

SC=CD.sin30o= \frac{a}{2}, SD=CD.cos30o=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SCD ta có

SH=\frac{SC.SD}{CD}= \frac{\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{4}.

Từ đó suy ra

VMABD=\frac{1}{3}d(M,(ABCD)).S­ABD=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}SH.\frac{1}{2}SABCD=\frac{1}{12}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{48} (đvtt)

Gọi I là trung điểm của SC. Khi đó MI//AC.

Suy ra (\widehat{DM,AC})=(\widehat{DM,MI})

Trong tam giác vuông SDH ta có DH=DS.cos30o=\frac{3a}{4}.

Trong tam giác vuông ADH ta có:

AH=\sqrt{AD^{2}+DH^{2}} = \sqrt{a^{2}+\frac{9a^{2}}{16}} = \frac{5a}{4}.

Trong tam giác vuông AHS ta có:

SA=\sqrt{SH^{2}+AH^{2}} = \sqrt{\frac{3a^{2}}{16}+\frac{25a^{2}}{16}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}.

Trong tam giác SCD ta có

DI=\sqrt{SD^{2}+SI^{2}} = \sqrt{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{16}} = \frac{a\sqrt{13}}{4}

Trong tam giác SAD ta có

DM2=\frac{2DS^{2}+2DA^{2}-SA^{2}}{4} = \frac{2.\frac{3a^{2}}{4}+2a^{2}-\frac{7a^{2}}{4}}{4} = \frac{7a^{2}}{16}

Áp dụng định lý cosin trong tam DMI ta có:

cos\widehat{DMI} = \frac{\frac{7a^{2}}{16}+\frac{a^{2}}{2}-\frac{13a^{2}}{16}}{2.\frac{a\sqrt{7}}{4}.\frac{a}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{14}}{28}

Từ đó suy ra cos(\widehat{DM,AC}) = cos(\widehat{DM,MI})=|cos\widehat{DMI}| = \frac{\sqrt{14}}{28}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết