Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36115

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy trùng trọng tâm H của tam giác ABC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.HACD và khoảng cách từ đường thẳng SC tới đường thẳng BD biết mặt phẳng (SAB) hợp mặt phẳng góc 600

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy trùng trọng tâm H của tam giác ABC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.HACD và khoảng cách từ đường thẳng SC tới đường thẳng BD biết mặt phẳng (SAB) hợp mặt phẳng góc 600


A.
VS.HACD = 5a3; d(SC, BD) = \frac{a}{\sqrt{5}}
B.
VS.HACD = 3a3; d(SC, BD) = \frac{a}{\sqrt{5}}
C.
VS.HACD = \frac{2a^{3}}{9\sqrt{3}}; d(SC, BD) = a
D.
VS.HACD = \frac{2a^{3}}{9\sqrt{3}}; d(SC, BD) = \frac{a}{\sqrt{5}}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Tính thể tích và khoảng cách 

Kẻ IH ⊥ AB, vì SH ⊥ AB nên AB ⊥ (SHI)

Giả thiết được góc \widehat{SIH} = 600

Do IH // AD nên \frac{BH}{BD}=\frac{IH}{AD}

=> IH = \frac{BH.AD}{BD}=\frac{\frac{1}{3}a\sqrt{2}.a}{a\sqrt{2}}=\frac{a}{3}

SH = IH.tan600= \frac{a}{\sqrt{3}}

SAHCD = SABCD – ( SAHB + S BHC) = a2 - (\frac{a^{2}}{6}+\frac{a^{2}}{6})=\frac{2a^{2}}{3}

V = \frac{1}{3}SH.SAHCD = \frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{2a^{2}}{3}=\frac{2a^{3}}{9\sqrt{3}} (đvtt)

Kẻ Cx // BD suy ra BD // (SC, Cx)

d(SC, BD) = d(BD, (SC, Cx)) = d(H, (SC, Cx))

Kẻ HK ⊥ Cx tại K

Vì SH ⊥ Cx, HK ⊥ Cx nên Cx ⊥ (SHK) hay (SHK) ⊥ (SC, Cx)

kẻ HN vuông góc với SK tại N

Khoảng cách d(SC, BD) = HN = \frac{SH.HK}{\sqrt{SH^{2}+HK^{2}}}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{a}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{2}}}=\frac{a}{\sqrt{5}}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết