Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a√3, đường chéo AC=2a. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và SC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a√3, đường chéo AC=2a. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và SC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
(đvtt) 
(đvtt) 
(đvtt) 
(đvtt) Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Từ giả thiết ta có SO⊥(ABCD).Trong tam giác SOC vuông tại O ta có SO=
=
= a√2.
Trong tam giác AOB vuông tại O ta có
OB=
= = a√2.
Ta có VSABC = 
.SO.(OB.AC) = .a√2.a√2.2a = 
(đvtt)
Gọi H là trung điểm của SB. Ta có tam giác SBC cân tại C vì CS=CB=a√3 nên CH⊥SB. Tương tự ta cũng có AH⊥SB. Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC. Từ SB⊥(AHC) =>OH⊥SB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOB vuông tại O ta có
=
+
=
+=>OH=a
Do đó OH=
AC. Trong tam giác AHC có đường trung tuyến kẻ từ H bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác AHC vuông tại H.
Do đó hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Từ giả thiết ta có SO⊥(ABCD).Trong tam giác SOC vuông tại O ta có SO== = a√2.
Trong tam giác AOB vuông tại O ta có
OB= = = a√2.
Ta có VSABC = .SO.(OB.AC) = .a√2.a√2.2a = (đvtt)
Gọi H là trung điểm của SB. Ta có tam giác SBC cân tại C vì CS=CB=a√3 nên CH⊥SB. Tương tự ta cũng có AH⊥SB. Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC. Từ SB⊥(AHC) =>OH⊥SB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOB vuông tại O ta có
=+=+=>OH=a
Do đó OH=AC. Trong tam giác AHC có đường trung tuyến kẻ từ H bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác AHC vuông tại H.
Do đó hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
Câu hỏi liên quan
-
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Tính tích phân I=
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Giải phương trình (1-
).![\sqrt[3]{2-x}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1031/75_220_2.gif)
= x. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Tính tích phân I =
