Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39908

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).


A.
d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{2}},  thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{25a^{3}}{24}
B.
d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{6 }},  thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{25a^{3}}{24}
C.
d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{5}},  thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{25a^{3}}{24}
D.
d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{3}},  thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{25a^{3}}{24}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H là giao điểm của BM và AN.

Do M, N là các trung điểm nên BM ⊥ AN

SA ⊥ (ABCD) và MB ⊥ AN => BM ⊥ SH

SA ⊥ AH => \widehat{SHA} nhọn

Suy ra \widehat{SHA} là góc giữa hai mặt phẳng: (ABCD) và (SBM) nên \widehat{SHA} = 450

=> AH = AS = a

Trong tam giác vuông ABM:

\frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} = \frac{1}{AH^{2}}

⇔ \frac{1}{AB^{2}} + \frac{4}{AB^{2}} = \frac{1}{AH^{2}} ⇔ \frac{5}{AB^{2}}=\frac{1}{AH^{2}}

⇔ AB2 = 5AH2 ⇔ AB = AH√5 = a√5

5dt(ABNM) = dt(ABCD) - dt(BCN) - dt(MND) = 5a2 - \frac{5a^{2}}{4}-\frac{5a^{2}}{8}=\frac{25a^{2}}{8}

Suy ra thể tích hình chóp S.SBNM là: V = \frac{1}{3}.\frac{25a^{2}}{8}.a = \frac{25a^{3}}{24}

Gọi F là trung điểm BC. Ta có DF // BM nên DF // (SBM)

Gọi E là giao điểm của DF và AN

Suy ra d(D, (SBM)) = d(E, (SBM)) 

Gọi K là hình chiếu của E trên đường thẳng SH thì EK ⊥ (SBM)

Từ đó d(D, (SBM)) = d(E, (SBM))  = EK

M là trung điểm AD nên H là trung điểm AE => HE = HA = a

Để ý rằng \widehat{KHE} = 45o => EK = \frac{a}{\sqrt{2}}

Vậy d(D, (SBM)) = \frac{a}{\sqrt{2}}

Ghi chú: 

+ d(D, (SBM)) = d(A, (SBM))

+ có thể giải bằng phương pháp tọa độ

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết