Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 38080

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \varphi sao cho cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{7}} . Biết rằng  SA = SC = SD, AB = BC = a, AD = 2a.           a. Tính thể tích của khối chóp theo a.  b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD  và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng (SCD) hợ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \varphi sao cho cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{7}} . Biết rằng  SA = SC = SD, AB = BC = a, AD = 2a.          

a. Tính thể tích của khối chóp theo a. 

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD  và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) theo a.


A.
V=a^{3}.\frac{\sqrt{3}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{2}{\sqrt{3}}
B.
V=a^{3}.\frac{\sqrt{5}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{2}{\sqrt{3}}
C.
V=a^{3}.\frac{\sqrt{5}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{4}{\sqrt{3}}
D.
V=a^{3}.\frac{\sqrt{5}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{5}{\sqrt{3}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi F, E lần lượt là trung điểm của AD, CD; ta có FA = FD = FC, do đó tam giác ACD vuông tại C, có tâm đường tròn ngoại tiếp là F (vuông cân). Vì SA = SD = SC nên SF là đường cao của hình chóp S.ABCD.

Dễ thấy SE và EF đồng thời vuông góc với CD, do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là góc SEF = \varphi

Từ giả thiết ta có tan\varphi = √6 =  a√3. Như vậy ta có thể tích khối chóp S.ABCD là:

V=\frac{1}{3}SF.AB.\frac{AD+BC}{2}=\frac{1}{3}a^{2}\sqrt{3}.\frac{3a}{2}=a^{3}.\frac{\sqrt{3}}{2} (đvtt)

Do AD // BC nên d(SC, AD) = d((SBC), AD) = d(F, (SBC))

Kẻ FH vuông góc với SC ta có:

\left\{\begin{matrix} BC\perp CF & \\ BC\perp SF & \end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp (SCF)\Rightarrow BC\perp FH mà FH \perp (FBC) \Rightarrow d(AD, (SBC)) = FH

Tính FH: \frac{1}{FH^{2}}=\frac{1}{FS^{2}}+\frac{1}{FC^{2}}=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{4a^{2}}\Rightarrow FH=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Dựng FK \perp  SD, do CF \perp (SAD) => CF \perp SD => (FKC) \perp SD

do đó goc giữa (SAD) và (SCD) là \widehat{FKC} (vì \widehat{CFK}=90^{0}

Ta có FK=FDsin600=\frac{a\sqrt{3}}{2};CF=a \Rightarrow tan\widehat{FKC}=\frac{CF}{FK}=\frac{2}{\sqrt{3}}

Vậy \widehat{FKC}=arctan\frac{2}{\sqrt{3}}

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết