Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31046

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,  AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2√2. Hình chiế

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,  AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a


A.
V = \frac{\sqrt{2}}{3}a3; d = \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
B.
V = \frac{4\sqrt{3}}{3}a3; d = \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
C.
V = \frac{4\sqrt{2}}{3}a3; d = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
D.
V = \frac{4\sqrt{3}}{3}a3; d= \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

 

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD.

Theo giả thiết SH ⊥ (ABCD) 

Gọi O = AC ∩ BD => CH = \frac{2}{3} .CO = \frac{1}{3}.AC = a

SA tạo với đáy góc 450 suy ra \widehat{SAH} = 450

=> SH = AH = 2a 

Gọi V là thể tích của khối hộp S.ABCD thì

  V = \frac{1}{3}.SABCD.SH = \frac{1}{3}.a.2√2.a.2a = \frac{4\sqrt{2}}{3}.a3

Gọi M là trung điểm của SB . Mặt phẳng (ACM) chứa AC và //SD. Do đó

d(SD; AC) = d(SD; (ACM)) = d(D; (ACM)). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Trong đó A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2√2; 0), S(\frac{2a}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}.a; 2a), C(a; 2√2a; 0) 

và M(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3}; a)

 \overline{AC} = (a; 2√2a; 0)\overline{AM}=(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3};a)\Rightarrow \overline{AC}\wedge \overline{AM}=(2\sqrt{2}a^{2};-a^{2};-\sqrt{2}a^{2})

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vecto pháp tuyến  \overrightarrow{n} = (2√2; -1; -√2)  nên có phương trình là 2√2.x - y - √2z = 0 

=> d\Rightarrow d(D;(ACM))=\frac{\begin{vmatrix} -2\sqrt{2}a \end{vmatrix}}{\sqrt{8+1+2}}=\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết