Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31170

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \widehat{ABC}=60^{0} BC=2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy A

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \widehat{ABC}=60^{0} BC=2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.


A.
\frac{4\sqrt{5}a}{5}
B.
\frac{3\sqrt{5}a}{5}
C.
\frac{2\sqrt{5}a}{5}
D.
\frac{\sqrt{5}a}{5}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Góc giữa SA và mp(ABC) là \widehat{SAH}=60^{0}. Ta có:

\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(a\sqrt{3})^{2}}=\frac{4}{3a^{2}} =>     AH= \frac{a\sqrt{3}}{2}

 =>  SH\Rightarrow SH=AH.tan60^{0}=\frac{3a}{2}

Từ đó: V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}

Ta có: CA^{2}=CH.CB\Rightarrow CH=\frac{CA^{2}}{CB}=\frac{(a\sqrt{3})^{2}}{2a}=\frac{3a}{2}. Từ đó:

\frac{d(B; (SAC))}{d(H; (SAC))}=\frac{CB}{CH}=\frac{2a}{\frac{3a}{2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow d(B; (SAC)=\frac{4}{3}d(H; (SAC)

Hạ HE \perp AC; HK \perp SE . Ta có AC\perp HE, AC\perp SH =>  AC\perp(SHE). Từ đó:  HK \perp AC, SE => HK \perp (SAC).

Từ đó:d(B; (SAC)=\frac{4}{3}d(H; (SAC)=\frac{4}{3}HK

Ta có: \frac{HE}{AB}=\frac{CH}{CB}=\frac{3}{4}\Rightarrow HE=\frac{3}{4}AB=\frac{3a}{4}

Từ đó: HK^{2}=\frac{HS^{2}.HE^{2}}{HS^{2}+HE^{2}}=\frac{(\frac{3a}{4})^{2}.(\frac{3a}{2})^{2}}{\frac{3a}{4})^{2}+(\frac{3a}{2})^{2}}=\frac{9a^{2}}{20}\Rightarrow HK=\frac{3\sqrt{5}a}{10}

d(B; (SAC)=\frac{4}{3}HK=\frac{4}{3}.\frac{3\sqrt{5}a}{10}=\frac{2\sqrt{5}a}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết