Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 332

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).


A.
VSABC = \frac{a^{3}\sqrt{30}}{3}, MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2+\frac{a^{2}}{2}}}} = \frac{2a}{\sqrt{10}}.
B.
VSABC = \frac{a^{3}\sqrt{20}}{3}, MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2+\frac{a^{2}}{2}}}} = \frac{2a}{\sqrt{5}}.
C.
VSABC = \frac{a^{3}\sqrt{10}}{3}, MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2+\frac{a^{2}}{2}}}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}.
D.
VSABC = \frac{a^{3}\sqrt{10}}{2}, MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2+\frac{a^{2}}{2}}}} = \frac{2a}{\sqrt{6}}.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì tam giác ABC vuông cân tại B và BC = 2a nên AC = 2a√2.

Ta có BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên BM = \frac{1}{2}AC = a√2.

Do đó MH = \frac{1}{2}BM = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

Trong tam giác vuông AMH (vuông tại M) ta có

AH = \sqrt{AM^{2}+MH^{2}} = \sqrt{2a^{2}+\frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{10}}{2}.

Vì SH ⊥ (ABC) nên \left(\widehat{SA,\left(ABC\right)}\right) = \widehat{SAH} = 600. Khi đó trong tam giác vuông SAH (vuông tại H) ta có SH = AH.tan600 = \frac{a\sqrt{30}}{2} (đvtt).

Từ đó suy ra: VSABC = \frac{1}{3}.SH.SABC = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{30}}{2}.\left(\frac{1}{2}.2a.2a\right) = \frac{a^{3}\sqrt{30}}{3}.

Ta có: d(E, (SAH)) = \frac{1}{2}d(C, (SAH)) = \frac{1}{2}.2.d(M, (SAH)) = MK, trong đó K là hình chiếu của M lên AH.

Trong tam giác vuông AMH (vuông tại M) ta có

\frac{1}{MK^{2}} = \frac{1}{MA^{2}} + \frac{1}{MH^{2}} => MK = \frac{MA.MH}{\sqrt{MA^{2}+MH^{2}}} = \frac{a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^{2}+\frac{a^{2}}{2}}} = \frac{2a}{\sqrt{10}}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết