Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 62787

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = \dpi{100} a\sqrt{3}. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm H của AI, góc giữa (SAB) và (ABC) bằng \dpi{100} 60^{0}. Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng SB, AC.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = . Gọi I là trung điểm

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = \dpi{100} a\sqrt{3}. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm H của AI, góc giữa (SAB) và (ABC) bằng \dpi{100} 60^{0}. Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng SB, AC.


A.
\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8};  cos (AC,SB)= \dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}
B.
\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}; cos (AC,SB) = -\dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}
C.
\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{8}; cos (AC,SB)= \dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}
D.
\dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{8}; cos (AC,SB) = -\dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

- Tính thể tích của S.ABC

Có \dpi{100} S_{ABC}= \frac{1}{2}.AB.AC = \dpi{100} \frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}= \dpi{100} \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

Có AI = \dpi{100} \frac{1}{2}.BC = \dpi{100} \frac{1}{2}.\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}= a

=> AB = AI = BI = a => tam giác ABI đều cạnh a

Xét tam giác vuông AHK vuông tại K

có góc A = \dpi{100} 60^{0}

AH = \dpi{100} \frac{1}{2}AI= \frac{a}{2}

sin60 = \dpi{100} \frac{HK}{AH}

=> HK = \dpi{100} \frac{a}{2}. sin \dpi{100} 60^{0}

=> Hk = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{4}

Xét tam giác SHK vuông tại H

tan\dpi{100} 60^{0} = \dpi{100} \frac{SH}{HK}

=> SH = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{4}. \dpi{100} \sqrt{3} = \dpi{100} \frac{3a}{4}

=> \dpi{100} V_{S.ABC}= \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}

- Tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SB và AC

Kẻ BD song song và bằng AC

=>Góc (AC,SB) = góc (SB,BD)

Có BD = AC = \dpi{100} a\sqrt{3}

Xét tam giác vuông SHB

có SH = \dpi{100} \frac{3a}{4}; BH = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}

=> SB = \dpi{100} \sqrt{SH^{2}+BH^{2}}= \frac{a\sqrt{21}}{4}

Xét tam giác BHD có  BH = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}; BD = \dpi{100} a\sqrt{3}; \dpi{100} \widehat{HBD}= 120^{0}

\dpi{100} HD^{2}= BH^{2}+BD^{2}- 2BH.BD.cos120= \frac{21a^{2}}{4} 

=> \dpi{100} HD= \frac{a\sqrt{21}}{2}

\dpi{100} SD = \sqrt{SH^{2}+HD^{2}}= \frac{a\sqrt{93}}{4}

Xét tam giác SBD có:

cos SBD= \dpi{100} \frac{SB^{2}+BD^{2}-SD^{2}}{2SB.BD}=-\frac{\sqrt{7}}{7}

=> cos (AC,SB) = cos ( SB,BD) = \dpi{100} \frac{\sqrt{7}}{7}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết