Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12629

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA⊥(ABC), SB = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α. a.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α. b. Hãy tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA⊥(ABC),

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA⊥(ABC), SB = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α. a.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α. b. Hãy tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.


A.
a. VS.ABC = \frac{a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt); b.cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).
B.
a. VS.ABC = \frac{7a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt); b.cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).
C.
a. VS.ABC = \frac{a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt); b.cosα = \sqrt{\frac{5}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).
D.
a. VS.ABC = \frac{5a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt); b.cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

a.Ta có: VS.ABC = \frac{1}{3}S∆ABC.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AB.BC.SA = \frac{1}{6}AB2.SA.  (1)

Nhận xét tằng : BC⊥AB, BC⊥SA=>BC⊥(SAB) =>BC⊥SB

=>g((SBC),(ABC)) = \widehat{ SBA}= α

Trong  ∆SAB vuông tại A, ta có: AB = SB.cos\widehat{ SBA} = a.cosα.  (2)

                                                      SA = SB.sin\widehat{ SBA} = a.sinα.     (3)

Thay (2), (3)  vào (1) ta được : VS.ABC = \frac{1}{6}a2.cos2α.a.sinα = \frac{a^{3}}{6}cos2α.sinα (đvtt).

b.Xét hàm số y = cos2α.sinα trên khoảng (0; \frac{\pi }{2}),

ta có : y’ = -2cosα.sinα.sinα + cos2α.cosα = (3cos2α – 2)cosα.  

y’ = 0⇔(3cos2α – 2)cosα = 0  (α∈(0; \frac{\pi }{2}) ⇔cosα = \sqrt{\frac{2}{3}}

Bảng biến thiên :

Vậy, ta có (VS.ABC)Max = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{27} đạt được khi cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} với (α∈(0; \frac{\pi }{2}).

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết