Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7274

Cho hình chóp OABC có 3 cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau đôi một tại O,OB= a, OC = a√3 và OA = a√3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. 1.Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC). 2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB vàOM.

Cho hình chóp OABC có 3 cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau đôi một tại O

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp OABC có 3 cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau đôi một tại O,OB= a, OC = a√3 và OA = a√3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. 1.Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC). 2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB vàOM.


A.
d(O,(ABC)) = \frac{a\sqrt{5}}{7} ; d(AB;OM) =\frac{a\sqrt{15}}{3}
B.
d(O,(ABC)) = \frac{a\sqrt{5}}{6} ; d(AB;OM) =\frac{a\sqrt{15}}{7}
C.
d(O,(ABC)) = \frac{a\sqrt{5}}{5} ; d(AB;OM) =\frac{a\sqrt{15}}{5}
D.
d(O,(ABC)) = \frac{a\sqrt{5}}{3}  ; d(AB;OM) =\frac{a\sqrt{15}}{6}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Trong tam giác OBC, vẽ đường cao OK

Trong tam giác OAK, vẽ đường cao OH

Chứng minh OH vuông góc với mp(ABC)

\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OK^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}} = \frac{5}{a^{2}}

Suy ra d(O,(ABC)) = OH = \frac{a\sqrt{5}}{5}

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0), A(0;0; a√3); B(0;  ; ) ; C (0; a√3; 0), M( \frac{a}{2} ; \frac{a\sqrt{3}}{2} ; 0) => N(0; \frac{a\sqrt{3}}{2}  ; \frac{a\sqrt{3}}{2})

\overrightarrow{OM} = (\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0), \overrightarrow{ON} = (0; \frac{a\sqrt{3}}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2})

[\overrightarrow{OM}; \overrightarrow{ON} ] = (\frac{3a^{2}}{4} ; \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} ; \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}), 

 \vec{n}= (√3;1;1) là VTPT của mặt phẳng (OMN)

Phương trình mặt phẳng ( OMN) qua O với vectơ pháp tuyến \vec{n} : √3x + y + z = 0

Ta có: d(B;(OMN))  = \frac{|\sqrt{3}.a+0+0|}{\sqrt{3+1+1}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{15}}{5}.

Vậy : d(B;(NOM)) = \frac{a\sqrt{15}}{5}

MN là đường trung bình của tam giác ABC => AB//MN =>AB//(OMN) =>d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(NOM)) = \frac{a\sqrt{15}}{5}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết