Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43030

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng (P) qua G và song song với mặt phẳng (ABCD) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại các điểm A’, B’, C’, D’. Tính thể tích khối đa diện ABCDA’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng (P) qua G và song song với mặt phẳng (ABCD) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại các điểm A’, B’, C’, D’. Tính thể tích khối đa diện ABCDA’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.


A.
V = \frac{38\sqrt{3}a^3}{81} và R = \frac{2a\sqrt{3}}{3}
B.
V = \frac{38\sqrt{3}a^3}{82} và R = \frac{2a\sqrt{3}}{3}
C.
V = \frac{40\sqrt{3}a^3}{81} và R = \frac{2a}{3}
D.
V = \frac{38\sqrt{2}a^3}{81} và R = \frac{2a}{3}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H  = BD ∩ AC, AB = a√2 => BD = a√2.√2 = 2a

G là trọng tân tam giác.

Vì (P) // (ABCD) => B'D' // BD

Và A'B'C'D' là hình vuông => \frac{B'D'}{BD} = \frac{SG}{SH} = \frac{2}{3}

=> B'D' = \frac{2}{3}BD = \frac{4a}{3}

=> A'B' = A'D' = \frac{B'D'}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}a. (do A'B'C'D' là hình vuông nên tam giác A'B'D' vuông cân tại A')

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SH ⊥ (ABCD)

=> góc giữa SA và (ABCD) là \widehat{SAH} = 60o

Trong tam giác vuông ABD có AH = \frac{1}{2}BD = a

Xét tam giác SAH vuông tại H: SH = HA. tan600 = a√3 => SA = 2a

Ta có VS.ABCD = \frac{1}{3}. SH. SABCD = \frac{1}{3}. a√3. a√2. a√2 = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3}

Ta có SG = \frac{2}{3}SH = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

VS.A'B'C'D' = \frac{1}{3}. SG. SA'B'C'D' = \frac{1}{3}. \frac{2a\sqrt{3}}{3}. \frac{2\sqrt{2}}{3}a. \frac{2\sqrt{2}}{3}a = \frac{16\sqrt{3}a^3}{81}

VABCD.A'B'C'D' = VS.ABCD - VS.A'B'C'D' = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3} - \frac{16\sqrt{3}a^3}{81} = \frac{38\sqrt{3}a^3}{81}

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Suy ra O ∈ SH => O ∈ (SBD) suy ra R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD mà SB = SD = BD = 2a

Suy ra tam giác SBD đều nên R = \frac{2a}{2sin60^{o}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết