Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43030

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng (P) qua G và song song với mặt phẳng (ABCD) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại các điểm A’, B’, C’, D’. Tính thể tích khối đa diện ABCDA’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a√2, góc giữa SA và (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SBD, mặt phẳng (P) qua G và song song với mặt phẳng (ABCD) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại các điểm A’, B’, C’, D’. Tính thể tích khối đa diện ABCDA’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.


A.
V = \frac{38\sqrt{3}a^3}{81} và R = \frac{2a\sqrt{3}}{3}
B.
V = \frac{38\sqrt{3}a^3}{82} và R = \frac{2a\sqrt{3}}{3}
C.
V = \frac{40\sqrt{3}a^3}{81} và R = \frac{2a}{3}
D.
V = \frac{38\sqrt{2}a^3}{81} và R = \frac{2a}{3}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H  = BD ∩ AC, AB = a√2 => BD = a√2.√2 = 2a

G là trọng tân tam giác.

Vì (P) // (ABCD) => B'D' // BD

Và A'B'C'D' là hình vuông => \frac{B'D'}{BD} = \frac{SG}{SH} = \frac{2}{3}

=> B'D' = \frac{2}{3}BD = \frac{4a}{3}

=> A'B' = A'D' = \frac{B'D'}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}a. (do A'B'C'D' là hình vuông nên tam giác A'B'D' vuông cân tại A')

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SH ⊥ (ABCD)

=> góc giữa SA và (ABCD) là \widehat{SAH} = 60o

Trong tam giác vuông ABD có AH = \frac{1}{2}BD = a

Xét tam giác SAH vuông tại H: SH = HA. tan600 = a√3 => SA = 2a

Ta có VS.ABCD = \frac{1}{3}. SH. SABCD = \frac{1}{3}. a√3. a√2. a√2 = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3}

Ta có SG = \frac{2}{3}SH = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

VS.A'B'C'D' = \frac{1}{3}. SG. SA'B'C'D' = \frac{1}{3}. \frac{2a\sqrt{3}}{3}. \frac{2\sqrt{2}}{3}a. \frac{2\sqrt{2}}{3}a = \frac{16\sqrt{3}a^3}{81}

VABCD.A'B'C'D' = VS.ABCD - VS.A'B'C'D' = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3} - \frac{16\sqrt{3}a^3}{81} = \frac{38\sqrt{3}a^3}{81}

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Suy ra O ∈ SH => O ∈ (SBD) suy ra R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD mà SB = SD = BD = 2a

Suy ra tam giác SBD đều nên R = \frac{2a}{2sin60^{o}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết