Skip to main content

Cho hệ phương trình \left\{\begin{matrix}mx+(m+1)y=1\\(m+1)x-my=8m+3\end{matrix}\right. .Chứng tỏ rằng hệ luôn có cặp nghiệm duy nhất (x, y). Tìm m để biểu thức P = |x2 + y2 + (4 + 2√3)y| đạt giá trị lớn nhất.

Cho hệ phương trình

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hệ phương trình \left\{\begin{matrix}mx+(m+1)y=1\\(m+1)x-my=8m+3\end{matrix}\right. .Chứng tỏ rằng hệ luôn có cặp nghiệm duy nhất (x, y). Tìm m để biểu thức P = |x2 + y2 + (4 + 2√3)y| đạt giá trị lớn nhất.


A.
m = \frac{6+\sqrt{39}}{2+\sqrt{13}-\sqrt{39}}.
B.
m = \frac{6-\sqrt{39}}{-2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}.
C.
m = \frac{6+\sqrt{39}}{2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}.
D.
m = \frac{6+\sqrt{39}}{-2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Hệ PT có nghiệm duy nhất ⇔hai đường thẳng mx + (m + 1)y = 1 , (1) và (m + 1)x – my = 8m + 3 (2) cắt nhau

Xét vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \overrightarrow{n_{1}}(m, m +1); \overrightarrow{n_{2}}(m +1; -m).

Do đó \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0, suy ra hai đường thẳng (1); (2) luôn vuông góc nên cắt nhau

Gọi giao điểm là I(x; y). Đường thẳng (1) đi qua A(-1;1) cố định ; đường thẳng (2) luôn đi qua B(3; -5) cố định

Điểm I thuộc đường tròn đường kính AB nên có PT: (x + 1)2 + ( y + 2)2 = 13 (*)

Từ (*)⇔(\frac{x-1}{\sqrt{13}} )2 + ( \frac{y+2}{\sqrt{13}})2 = 1. Đặt x = 1 + √13cost; y = -2 + √13sint

P = |(x -1)2 + (y +2)2 + 2x +2√3y – 5| = |10 - 4√3 + 2√13(cost + √3sint)| = |10 - 4√3 + 4√13cos(t - \frac{\pi }{3})|

P đạt giá trị lớn nhất ⇔cos(t - \frac{\pi }{3}) = 1 ⇔x = 1+ \frac{\sqrt{13}}{2} ; y = -2 + \frac{\sqrt{39}}{2}

Do đó m = \frac{6-\sqrt{39}}{-2+\sqrt{13}+\sqrt{39}}

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.