Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14001

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: 2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4(frac{a^{3}}{b^{3}}+frac{b^{3}}{a^{3}})-9(frac{a^{2}}{b^{2}}+frac{b^{2}}{a^{2}})

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: 2(a2+b2)+ab=(a

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: 2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4(frac{a^{3}}{b^{3}}+frac{b^{3}}{a^{3}})-9(frac{a^{2}}{b^{2}}+frac{b^{2}}{a^{2}})


A.
 Pmin=-frac{4}{3}
B.
 Pmin=-frac{23}{4}
C.
 Pmin=frac{3}{4}
D.
 Pmin=frac{23}{4}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước tiên với ẩn phụ t=frac{a}{b}+frac{b}{a} (t≥2) ta viết lại P dưới dạng:

P=4[(frac{a}{b}+frac{b}{a})^{3} - 3(frac{a}{b}+frac{b}{a})] -9[(frac{a}{b}+frac{b}{a})^{2}-2]

=4(t3-3t)-9(t2-2)=4t3-9t2-12t+18

Với a,b dương ta đi biến đổi điều kiện:

2(a2+b2)+ab=(a+b)ab+2(a+b)

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho ab ta được:

 2(frac{a}{b}+frac{b}{a})+1≥sqrt{2(a+b)(frac{1}{b}+frac{1}{a})}=2sqrt{2(frac{a}{b}+frac{b}{a}+2)} 

Từ đó suy ra:

2(frac{a}{b}+frac{b}{a})+1≥2sqrt{2(frac{a}{b}+frac{b}{a}+2)} <=>2t+1≥2sqrt{2(t+2)}

<=>(2t+1)2 ≥8(t+2)<=>4t2-4t-15≥0 => t≥frac{5}{2}

Xét hàm số f(t)=4t3-9t2-12t+18 trên [frac{5}{2};+∞), ta có:

f'(t)=12t2-18t-12=6(2t2-3t-2)=6t(2t-5)+12t-12>0

=> Hàm số f(t) đồng biến trên  [frac{5}{2};+∞)

Từ đó fmin=f(frac{5}{2})=-frac{23}{4}

Vậy ta có Pmin=-frac{23}{4} đạt được khi:

t=frac{5}{2} => left{begin{matrix} frac{a}{b}+frac{b}{a}=frac{5}{2}\a+b=2(frac{1}{a}+frac{1}{b}) end{matrix}right. <=>left{begin{matrix} frac{a}{b}+frac{b}{a}=frac{5}{2}\a+b=frac{2(a+b)}{ab} end{matrix}right.

<=>left{begin{matrix} frac{a}{b}+frac{b}{a}=frac{5}{2}\ab=2 end{matrix}right. <=>left{begin{matrix} a^{2}+b^{2}=5\ab=2 end{matrix}right.<=>left{begin{matrix} (a+b)^{2}-2ab=5\ab=2 end{matrix}right.

<=>left{begin{matrix} (a+b)^{2}=9\ab=2 end{matrix}right.<=>left{begin{matrix} a+b=3\ab=2 end{matrix}right.

Suy ra a,b là nghiệm của phương trình:

x2-3x+2=0<=>begin{bmatrix} x=1\x=2 end{bmatrix}=>begin{bmatrix} a=1,b=2\a=2,b=1 end{bmatrix}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết