Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15596

Cho điểm M(2;1). Đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a;0), B(0;b) với a,b>0. Lập phương trình đường thẳng (d) sao cho: a. Diện tích ∆OAB nhỏ nhất. b. OA+OB nhỏ nhất. c. frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}} nhỏ nhất.

Cho điểm M(2;1). Đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a;0), B

Câu hỏi

Nhận biết

Cho điểm M(2;1). Đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a;0), B(0;b) với a,b>0. Lập phương trình đường thẳng (d) sao cho:

a. Diện tích ∆OAB nhỏ nhất.

b. OA+OB nhỏ nhất.

c. frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}} nhỏ nhất.


A.
a.(d): 3x+y-2=0 b.(d): x+(2+sqrt{2})y=0 c.(d): x-y=0
B.
a.(d): x+y-1=0 b.(d): sqrt{2}x+sqrt{2}y-5-3sqrt{2}=0 c.(d): x-y+10=0
C.
a.(d): 3x+2y-2=0 b.(d): sqrt{2}x+(2+sqrt{2})y-5-3sqrt{2}=0 c.(d): x-y+7=0
D.
a.(d): x+2y-4=0 b.(d): (1+sqrt{2})x+(2+sqrt{2})y-5-3sqrt{2}=0 c.(d): 2x+y-5=0
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

 Từ giả thiết, ta được (d): frac{x}{a}+frac{y}{b}=1

Vì M∈(d) nên frac{2}{a}+frac{1}{b}=1                            (1)

a. Ta có. diện tích ∆OAB được cho bởi:

S=frac{1}{2}OA.OB=frac{ab}{2}

Từ (1) suy ra

1=frac{2}{a}+frac{1}{b}≥2sqrt{frac{2}{a}.frac{1}{b}}= frac{sqrt{2}}{sqrt{ab}} <=> ab≥2 <=> S≥1.

Vậy Smin=1 đạt được khi: frac{2}{a}=frac{1}{b}=frac{1}{2}<=>left{begin{matrix} a=4\b=2 end{matrix}right.

Khi đó phương trình đường thẳng (d): x+2y-4=0

b. Từ (1) ta được:

a=frac{2b}{b-1}=> điều kiện b>1

Khi đó:

OA+OB=frac{2b}{b-1}+b=frac{2}{b-1}+b+2

=frac{2}{b-1}+b-1+3≥2sqrt{frac{2}{b-1}.(b-1)}+3=2sqrt{2}+3.

Vậy (OA+OB)min=2sqrt{2}+3, đạt được khi: frac{2}{b-1}=b-1 <=>left{begin{matrix} a=2+sqrt{2}\b=1+sqrt{2} end{matrix}right.

Khi đó phương trình đường thẳng (d): (1+sqrt{2})x+(2+sqrt{2})y-5-3sqrt{2}=0

c. Ta có: frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}}=frac{1}{a^{2}}+frac{1}{b^{2}}.

Nhận xét rằng:

(22+11).(frac{1}{a^{2}}+frac{1}{b^{2}})≥ (frac{1}{a^{2}}+frac{1}{b^{2}})^{2}=1

=>frac{1}{a^{2}}+frac{1}{b^{2}}≥frac{1}{5}

Vậy ( frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}})min=frac{1}{5}, đạt được khi:

left{begin{matrix} frac{2}{a}+frac{1}{b}=1\2a=b end{matrix}right.<=>left{begin{matrix} a=frac{5}{2}\b=5 end{matrix}right.

Khi đó phương trình đường thẳng (d): 2x+y-5=0

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết