Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3048

Cho các số thực x,y thỏa mãn \sqrt{2x+3} + \sqrt{y+3} = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \sqrt{x+2} + \sqrt{y+9}

Cho các số thực x,y thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x,y thỏa mãn \sqrt{2x+3} + \sqrt{y+3} = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \sqrt{x+2} + \sqrt{y+9}


A.
maxP = \frac{\sqrt{2}}{2} + √22, minP = - \frac{3\sqrt{10}}{2} .
B.
maxP = -\frac{\sqrt{2}}{2} + √22,   minP =- \frac{3\sqrt{10}}{2} .
C.
maxP = \frac{\sqrt{2}}{2} + √22, minP = \frac{3\sqrt{10}}{2} .
D.
 maxP = \frac{\sqrt{2}}{2} - √22, minP = -\frac{3\sqrt{10}}{2} ,
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \sqrt{2x+3}= a, \sqrt{y+3} = b. Ta có a + b =4, a ≥ 0 , b≥ 0.  (1)

Khi đó P = \sqrt{\frac{a^{2}-3}{2}+2} + \sqrt{b^{2}-3+9} = \sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}} +\sqrt{b^{2}+6}

= \sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}} + \sqrt{(4-a)^{2}+6}.

Từ (1) ta có 0 ≤ a ≤ 4.

Xét hàm số f(a) = \sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}} +\sqrt{(4-a)^{2}+6}, 0 ≤ a ≤ 4.

Ta có f’(a) = \frac{a}{\sqrt{2(a^{2}+1)}} - \frac{4-a}{\sqrt{(4-a)^{2}+6}}  , 0 ≤ a ≤ 4.

          f’(a) = 0 ⇔ \frac{a}{\sqrt{2(a^{2}+1)}} = \frac{4-a}{\sqrt{(4-a)^{2}+6}} , 0 ≤ a ≤ 4 

   ⇔ \left\{\begin{matrix}0\leq a\leq 4\\a^{2}(4-a)^{2}+6a^{2}=2(a^{2}+1)(4-a)^{2}\end{matrix}\right.

  ⇔ \left\{\begin{matrix}0\leq a\leq 4\\a^{4}-8a^{3}+12a^{2}-16(a-2)=0\end{matrix}\right.

   ⇔ \left\{\begin{matrix}0\leq a\leq 4\\(a-2)(a^{3}-6a^{2}-16)=0\end{matrix}\right. ⇔ a= 2.

Ta có f(0) = \frac{\sqrt{2}}{2} + √22; f(2) = \frac{3\sqrt{10}}{2} ; f(4) = \frac{\sqrt{34}}{2} + √6.

Suy ra maxP = \frac{\sqrt{2}}{2} + √22, đạt khi x =-\frac{3}{2} , y = 13;

           minP = \frac{3\sqrt{10}}{2} , đạt khi x = \frac{1}{2}, y =1.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết