Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y5 + z5.
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y5 + z5.
. 
. 
. 
. Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Với x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1, ta có :
0 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x(y + z) + 2yz = 1 – 2x2 + 2yz , nên yz = x2 - 
.
Mặt khác yz ≤ 
= 
, suy ra : x2 - ≤ , do đó - 
≤ x ≤ (*)
Khi đó : P = x5 + (y2 + z2)(y3 + z3) – y2z2(y + z)
= x5 + (1 – x2)[( y2 + z2)(y + z) – yz(y + z)] + (x2 - )2x
= x5 + ( 1 – x2)[ - x(1 – x2) + x(x2 - )] + (x2 - )2x = 
(2x3 – x).
Xét hàm f(x) = 2x3 – x trên [- ; ], suy ra f’(x) = 6x2 – 1; f’(x) = 0
⇔ x = ± 
.
Ta có f(- ) = f( ) = - 
, f() = f(- ) = .
Do đó f(x) ≤ .
Suy ra P ≤ 
Khi x = , y = z = - thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là .
Với x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1, ta có :
0 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x(y + z) + 2yz = 1 – 2x2 + 2yz , nên yz = x2 - .
Mặt khác yz ≤ = , suy ra : x2 - ≤ , do đó - ≤ x ≤ (*)
Khi đó : P = x5 + (y2 + z2)(y3 + z3) – y2z2(y + z)
= x5 + (1 – x2)[( y2 + z2)(y + z) – yz(y + z)] + (x2 - )2x
= x5 + ( 1 – x2)[ - x(1 – x2) + x(x2 - )] + (x2 - )2x = (2x3 – x).
Xét hàm f(x) = 2x3 – x trên [- ; ], suy ra f’(x) = 6x2 – 1; f’(x) = 0
⇔ x = ± .
Ta có f(- ) = f( ) = - , f() = f(- ) = .
Do đó f(x) ≤ .
Suy ra P ≤
Khi x = , y = z = - thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là .
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Tính tích phân I =
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8