Cho các số thực x , y , z thỏa mãn 
Chứng minh rằng 1 + 
≤ 
+ 
≤ 
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực x , y , z thỏa mãn Chứng minh rằng 1 + ≤ + ≤
x + y ≥ -
x + y ≥ -
x + y ≥ 
x + y ≥ 
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
( 
+ 
)2 ≤ 2(2 + 2(x + y))
Và (x + y)2 = (1.x + 
. √2 y)2 ≤ (1 + 
)(x2 + 2y2) = 
Suy ra x + y ≤ 
Do đó 
+ 
≤ 
Ta lại có:
(
+ 
)2 = 2 + 2(x + y) + 2
≥ 2 + 2(x + y) + 2
Mặt khác
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ≥ 
+ y2 = ⇒ x + y ≥ 
Do đó 
+ 
≥ 1 + 
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
( + )2 ≤ 2(2 + 2(x + y))
Và (x + y)2 = (1.x + . √2 y)2 ≤ (1 + )(x2 + 2y2) =
Suy ra x + y ≤
Do đó + ≤
Ta lại có:
( + )2 = 2 + 2(x + y) + 2 ≥ 2 + 2(x + y) + 2
Mặt khác
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ≥ + y2 = ⇒ x + y ≥
Do đó + ≥ 1 +
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Tính tích phân I=
-
Tính tích phân I=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.