Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1454

Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức            P = \frac{x^{3}+3}{y^{2}+2} + \frac{y^{3}+3}{z^{2}+2} + \frac{z^{3}+3}{x^{2}+2}

Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của b

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức            P = \frac{x^{3}+3}{y^{2}+2} + \frac{y^{3}+3}{z^{2}+2} + \frac{z^{3}+3}{x^{2}+2}


A.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là \frac{9}{2}
B.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là -\frac{9}{2}
C.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là = \frac{9}{4}
D.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là -\frac{9}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì a,b ∈ [0;1] nên ta có

\frac{a^{3}+3}{b^{2}+2}  ≤ \frac{a^{2}+3}{b^{2}+2}  = (a3 + 3).\frac{1}{2} \left ( 1-\frac{b^{2}}{b^{2}+2} \right ) 

 = \frac{1}{2}(a2 + 3) - \frac{1}{2}(a2 + 3).\frac{b^{2}}{b^{2}+2}   ≤  \frac{1}{2} (a2 + 3) -   \frac{1}{2} (a2 + 3).\frac{b^{2}}{3} 

=\frac{1}{2}(a2 - b2) + \frac{3}{2}-\frac{1}{6}a2b2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b ∈ {0;1}

Hoàn toàn tương tự ta có

\frac{b^{3}+3}{c^{2}+2}\leq \frac{1}{2} (b2 – c2) + \frac{3}{2}-\frac{1}{6}.b2c2

\frac{c^{3}+3}{a^{2}+2}\leq \frac{1}{2}(c2 - a2) + \frac{3}{2}-\frac{1}{6}.c2a2

Suy ra P ≤ \frac{9}{2}-\frac{1}{6}(a2b2 + b2c2 +  c2a2 ) ≤  \frac{9}{2}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b, c ∈ {0;1} và a2b2 +b2c2 +  c2a2 = 0 hay trong ba số a,b,c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại bằng 0.

Suy ra giá trị lớn nhất của P là  \frac{9}{2}, đạt được khi trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại bằng 0.

 

 

  

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết