Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9680

Cho các số thực x, y thây đổi nhưng luôn thỏa mãn x + y - 3 = 4(\sqrt{x-3} + \sqrt{y+1}) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{y+2}

Cho các số thực x, y thây đổi nhưng luôn thỏa mãn x + y - 3 = 4(

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y thây đổi nhưng luôn thỏa mãn x + y - 3 = 4(\sqrt{x-3} + \sqrt{y+1}) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{y+2}


A.
maxM = 1 + \frac{1}{10+4\sqrt{5}}  minM = \frac{4}{19+12\sqrt{2}}
B.
maxM = 1 - \frac{1}{10+4\sqrt{5}}  minM = \frac{4}{19+12\sqrt{2}}
C.
maxM = 1 + \frac{1}{10+4\sqrt{5}}  minM = \frac{-4}{19+12\sqrt{2}}
D.
maxM = 1 + \frac{1}{10-4\sqrt{5}}  minM = \frac{4}{19+12\sqrt{2}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \sqrt{x-3} = a, \sqrt{y+1} = b, với a, b ≥ 0. Giả thiết

x + y - 3 = 4(\sqrt{x-3} + \sqrt{y+1}) ta có

a2 + b2 = 4(a + b) + 1 ⇔ (a + b)2 – 4(a + b) = 2ab + 1      (1)

Bài toán trở về tìm Max, min của M = \frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1} với điều kiện (1) và a, b ≥ 0

Lại đặt a + b = S, ab = P. Điều kiện (1) ⇒ a2 + b2 = 4S + 1 và S2 – 4S – 1 = 2P      (1’)

Kết hợp (1’) và điều kiện phương trình t2 – St + P = 0 có 2 nghiệm không âm ta có hệ: \left\{\begin{matrix} S^{2}\geq 4P;S\geq 0;P\geq 0\\S^{2}-4S-1=2P \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} S^{2}\geq 2(S^{2}-4S-1)\\S\geq 0;S^{2}-4S-1\geq 0 \end{matrix}\right.

⇔ \left\{\begin{matrix} S^{2}-8S-2\leq 0\\ S\geq 0;S^{2}-4S-1\geq 0 \end{matrix}\right. ⇔ 2 + √5 ≤ S ≤ 4 + 3√2   (2)

Có \frac{1}{u} + \frac{1}{v} ≥ \frac{4}{u+v} với u, v > 0 nên M ≥ \frac{4}{a^{2}+b^{2}+2} = \frac{4}{4S+3}

(do a2 + b2 = 4S + 1)

Mà có (2) nên M ≥ \frac{4}{4(4+3\sqrt{2})+3} ⇒ minM = \frac{4}{19+12\sqrt{2}} khi a = b = 2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}

M =  \frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1} = \frac{a^{2}+b^{2}+2}{a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}+1} = \frac{4S+3}{4S+2+P^{2}} (do a2 + b2 = 4S + 1)

P2 ≥ 0 ⇒ M ≤ \frac{4S+3}{4S+2} = 1 + \frac{1}{4S+2} ≤ 1 + \frac{1}{4(2+\sqrt{5})+2} ⇒ maxM = 1 + \frac{1}{10+4\sqrt{5}}

Đạt được khi a = 0, b = 2 + √5 hoặc ngược lại

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết