Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 57337

Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz +yz +1 = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = \frac{2x}{x^{2}+1}+\frac{2y}{y^{2}+1}+\frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}

Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz +yz +1 = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz +yz +1 = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P = \frac{2x}{x^{2}+1}+\frac{2y}{y^{2}+1}+\frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}


A.
maxP = -1
B.
 maxP = \frac{3}{2}
C.
maxP = 1
D.
maxP = -\frac{3}{2}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt a= \frac{1}{x}; b = \frac{1}{y} ; c = z => ab + bc + ca = 1

1+a2 = (a+b)(a+c); 1+b2 = (a+b)(b+c); 1+c2 (a+c)(b+c)

 \frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}=\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(a+b)(b+c)}=\frac{1+ab}{(a+b)(b+c)(c+a)}

= \frac{1+ab}{\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}

Ta có P ≤ \frac{2}{1+c^{2}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} = f(c)

=> f'(c) = \frac{-2c(\sqrt{1+c^{2}}-2)}{(1+c^{2})^{2}}

Vậy maxP = maxf(c) = f(√3) = \frac{3}{2} đạt được khi x = y =2+√3 , z = √3

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết