Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 2962

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y +z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức   P = \frac{1}{1+xy+x^{2}y^{2}}  +\frac{1}{1+yz+y^{2}z^{2}}  +\frac{1}{1+zx+z^{2}x^{2}}

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y +z =3. Tìm giá trị nhỏ n

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y +z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức   P = \frac{1}{1+xy+x^{2}y^{2}}  +\frac{1}{1+yz+y^{2}z^{2}}  +\frac{1}{1+zx+z^{2}x^{2}}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng -2
B.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng -1
C.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2
D.
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có 3 – P = \frac{xy+x^{2}y^{2}}{1+xy+x^{2}y^{2}} + \frac{yz+y^{2}z^{2}}{1+yz+y^{2}z^{2}} + \frac{zx+z^{2}x^{2}}{1+zx+z^{2}x^{2}}

Với các số không âm x,y ta chỉ ra rằng \frac{xy+x^{2}y^{2}}{1+xy+x^{2}y^{2}} ≤ \frac{x+y}{3}   (1)

Thật vậy, bất đẳng thức (1) tương đương với

x3y2 + x2y3 + x2y + xy2 + x + y ≥ 3(xy + x2y2).  (2)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x3y2 + x2y3 +xy ≥ 3 x2y2     (3)

và  x2y +y + xy2 +x  ≥ 2xy + 2xy =4xy (4)

Cộng (3) và (4) ta được (2). Như vậy (1) được chứng minh.

Tương tự ta thu được

\frac{yz+y^{2}z^{2}}{1+yz+y^{2}z^{2}} ≤  \frac{y+z}{3} và   \frac{zx+z^{2}x^{2}}{1+zx+z^{2}x^{2}} ≤ \frac{z+x}{3}  (5)

Từ (1) và (5) ta có 3 – P ≤ \frac{2(x+y+z)}{3} = 2. Suy ra P ≥  1.

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z =1.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x =y = z =1.

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết