Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14025

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:M=3(a2b2+b2c2+c2a2)+3(ab+bc+ca)+2sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất củ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M=3(a2b2+b2c2+c2a2)+3(ab+bc+ca)+2sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}


A.
Mmin=sqrt{3}
B.
Mmin=0
C.
Mmin=1
D.
Mmin=2
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt t=ab+bc+ca (t≥0), ta có:

a2+b2+c2 ≥ ab+b+ca

=>1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) ≥3(ab+bc+ca)=3t

=>a2+b2+c2=1-2t và t≤frac{1}{3}

Ngoài ra theo cô si ta có:

t2=(ab+bc+ca)2 ≤ 3(a2b2+b2c2+c2a2) => M ≥ t2+3t+2sqrt{1-2t}

Xét hàm số f(t)=t2+3t+2sqrt{1-2t} trên tập D=[0;frac{1}{3}], ta có:

f'(t)=2t+3-frac{2}{sqrt{1-2t}}

f''(t)=2-frac{2}{sqrt{(1-2t)^{3}}}≤0, forallt ∈D => f'(t) là hàm nghịch biến trên D 

=> f'(t)≥f(frac{1}{3})=frac{11}{3}-2sqrt{3} >0 => f(t) là hàm đồng biến trên D

=> f(t)≥f(0)=2

Vậy ta được Mmin=2 đạt được khi t=0, tức là a,b,c không âm thỏa mãn:

left{begin{matrix} a+b+c=1\ab=bc=ca \ab+bc+ca=0 end{matrix}right.

<=> a,b,c là một trong các bộ số (0;0;1); (0;1;0); (1;0;0)

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết