Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13874

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3|x-y|+3|y-z|+3|z-x|-sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}.

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0. Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3|x-y|+3|y-z|+3|z-x|-sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}.


A.
 Pmin=2
B.
 Pmin=3 
C.
 Pmin=4
D.
 Pmin=1
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước tiên ta đi chứng mình:

3t ≥t+1, forallt≥0          (*)

Thật vậy, xét hàm số f(t)=3t –t-1 trên tập D=[0;+ ∞) ta có:

f’(t)=3t.lnt-1>0,forallt∈D => hàm số đồng biến trên D

=>f(t) ≥f(0)=0

Bất đẳng thức (*) đúng và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t=0.

Áp dụng (*) ta được:

3|x-y|+3|y-z|+3|z-x| ≥|x-y|+|y-z|+|z-x|+3      (1)

Áp dụng bất đẳng thức |a|+|b|≥|a+b|, ta được:

(|x-y|+|y-z|+|z-x|)2= |x-y|2+|y-z|2+|z-x|2+2|x-y|.|y-z|+2|y-z|.|z-x|+2|x-z|.|x-y|

=|x-y|2+|y-z|2+|z-x|2+|x-y|(|y-z|+|z-x|)+|y-z|(|z-x|+|x-y|)+|z-x|(|x-y|+|y-z|)

≥2(|x-y|2+|y-z|2+|z-x|2)

<=> |x-y|+|y-z|+|z-x| ≥ sqrt{2(|x-y|^{2}+|y-z|^{2}+|z-x|^{2})}

=sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}-2(x+y+z)^{2}}

=sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}  (2)

Từ (1) và (2) suy ra P ≥3, => Pmin=3 đạt được khi:

left{begin{matrix} x-y=y-z=z-x\x+y+z=0 end{matrix}right.<=> x=y=z=0

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết