Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1173

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x}{(y+z)^{2}} + \frac{y}{(z+x)^{2}} + \frac{z}{(x+y)^{2}}.

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x}{(y+z)^{2}} + \frac{y}{(z+x)^{2}} + \frac{z}{(x+y)^{2}}.


A.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là -\frac{4}{3}, đạt khi x = y = z = 1
B.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \frac{4}{3}, đạt khi x = y = z = 1
C.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là -\frac{3}{4}, đạt khi x = y = z = 1
D.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \frac{3}{4}, đạt khi x = y = z = 1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Sử dụng bất đẳng thức (a+b)2 ≤ 2(a2 +b2) ta có

P ≥ \frac{1}{2}(\frac{x}{y^{2}+z^{2}} + \frac{y}{z^{2}+x^{2}} + \frac{z}{x^{2}+y^{2}}) = \frac{1}{2}(\frac{x}{3-x^{2}} + \frac{y}{3-y^{2}} + \frac{z}{3-z^{2}})

= \frac{1}{2}(\frac{x^{2}}{x.(3-x^{2})} + \frac{y^{2}}{y.(3-y^{2})} + \frac{z^{2}}{z.(3-z^{2})})

Vì x, y, z dương và x2 + y2 + z2 = 3 nên x ∈ (0;√3)

Xét hàm f(x) = x(3-x2) trên (0;√3).

Ta có f'(x) = -3x2+3; f'(x)=0 ⇔ x=1 và f'(x)>0 ⇔ x∈(0;1)

Suy ra f(x) ≤ f(1) = 2 với mọi x∈(0;√3). Do đó \frac{x^{2}}{x(3-x^{2})} ≥ \frac{x^{2}}{2}.

Tương tự ta cũng \frac{y^{2}}{y.(3-y^{2})}≥\frac{y^{2}}{2} và \frac{z^{2}}{z.(3-z^{2})} ≥ \frac{z^{2}}{2}

Từ đó suy ra P ≥ \frac{1}{2}\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2} = \frac{3}{4}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \frac{3}{4}, đạt khi x = y = z = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết