Cho các số thực dương x,y thỏa mãn 3xy + 3 = x4 + y4 + 
.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2y2 + 
.
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực dương x,y thỏa mãn 3xy + 3 = x4 + y4 + .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2y2 + .
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Đặt xy = t > 0. Từ giả thiết ta có
3xy + 3 = x4 + y4 + 
≥ 2x2y2 + , hay 3t + 3 = 2t2 + 
⇔ 2t3– 3t2 -3t + 2 ≤ 0
⇔ ( t + 1)( 2t -1)(t -2) ≤ 0 ⇔ 
≤ t ≤ 2, vì t > 0.
Ta lại có P ≤ x2y2 + 
≤ t2 + 
. (1)
Xét hàm số f(t) = t2 + , ≤ t ≤ 2.
Ta có f’(t) = 2t - 
, ≤ t ≤ 2
f’(t) =0 ⇔ 
⇔
⇔ t =1.
Ta có f(1) =5, f(2) = 
, f( ) = 
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra P ≤
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
⇔ x= y =1
Vậy giá trị lớn nhất của P là , đạt khi x = y =1.
Đặt xy = t > 0. Từ giả thiết ta có
3xy + 3 = x4 + y4 + ≥ 2x2y2 + , hay 3t + 3 = 2t2 +
⇔ 2t3– 3t2 -3t + 2 ≤ 0
⇔ ( t + 1)( 2t -1)(t -2) ≤ 0 ⇔ ≤ t ≤ 2, vì t > 0.
Ta lại có P ≤ x2y2 + ≤ t2 + . (1)
Xét hàm số f(t) = t2 + , ≤ t ≤ 2.
Ta có f’(t) = 2t - , ≤ t ≤ 2
f’(t) =0 ⇔ ⇔⇔ t =1.
Ta có f(1) =5, f(2) = , f( ) = . (2)
Từ (1) và (2) suy ra P ≤
Dấu đẳng thức xảy ra khi ⇔ x= y =1
Vậy giá trị lớn nhất của P là , đạt khi x = y =1.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Giải phương trình:
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo.