Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 38102

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 ≥ xz và z2 ≥ xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \frac{x}{x+y} + \frac{y}{y+z} + \frac{2014z}{z+x} .

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 ≥ xz và z2 ≥ xy. Tì

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y2 ≥ xz và z2 ≥ xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \frac{x}{x+y} + \frac{y}{y+z} + \frac{2014z}{z+x} .


A.
MinP = 1008
B.
MinP = 1007
C.
MinP = 1006
D.
MinP = 1004
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có P=\frac{1}{1+\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{2014}{11+\frac{x}{z}}

Đặt a = \frac{y}{x}; b = \frac{z}{y}; c = \frac{x}{z} kết hợp với giả thiết ta suy ra: \left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c> 0 & \\ abc=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0<c\leq 1 & \\ ab\geq 1 & \end{matrix}\right.

Khi đó P=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{2014}{1+c}

Ta có: \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}(\sqrt{ab}-1)\geq 0 ( đúng do ab ≥ 1)

Suy ra \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1} hay P\geq \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}+\frac{2014}{c+1}\geq \frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}+\frac{2014}{\sqrt{c}+1}=\frac{2014+2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1} vì 0< c ≤ 1=> c ≤ √c

Đặt t = √c => 0< t ≤1

Xét hàm số f(t)=\frac{2t+2014}{t+1} với 0< t ≤1. Ta có hàm số f(t) liên tục trên (0;1]

f'(t) = -\frac{2012}{(t+1)^{2}}<0,\forall t\in (0;1)

Hàm số f(t) nghịch biến trên (0;1]. Suy ra f(t) ≥ f(1) = 1008

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1008 khi và chỉ khi x = y = z.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết