Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36023

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ n

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}


A.
Min P =  9 
B.
Min P = 8 
C.
Min P = 7 
D.
Min P = 6 
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+1 \geq \frac{3}{xy}; \frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}+1 \geq \frac{3}{yz}; \frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+1 \geq \frac{3}{zx}

Suy ra \frac{2}{x^{3}}+\frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ 3\geq \frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}

Suy ra

P + 3 ≥ \frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}

Mặt khác , áp dụng BĐT \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} với a , b > 0 ta có

P + 3 ≥ \frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+ (\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}})+(\frac{1}{yz}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}})+ (\frac{1}{zx}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}})

 ≥  \frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{4}{x^{2}+y^{2}}+\frac{4}{y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{z^{2}+x^{2}} =4(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}})+4(\frac{1}{2yz}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}})+4(\frac{1}{2zx}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}})

≥ \frac{16}{(x+y)^{2}}+\frac{16}{(y+z)^{2}}+\frac{16}{(z+x)^{2}}\geq 16.\frac{3}{\sqrt[3]{(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}}}

≥ 16.\frac{3.9}{(2x+2y+2z)^{2}}\geq 16.\frac{3.9}{4.3^{2}} = 12

Do đó P ≥ 9. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x = y = z = 1

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết