Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 8608

Cho các số thực dương x, y , z. Chứng minh rằng: \frac{x^{2}-xy}{x+y} +  \frac{y^{2}-yz}{y+z} +  \frac{z^{2}-zx}{z+x} ≥ 0 .

Cho các số thực dương x, y , z. Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y , z.
Chứng minh rằng: \frac{x^{2}-xy}{x+y} +  \frac{y^{2}-yz}{y+z} +  \frac{z^{2}-zx}{z+x} ≥ 0 .


A.
Dấu “=” xảy ra khi x = - y = - z.
B.
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
C.
Dấu “=” xảy ra khi x = y = - z.
D.
Dấu “=” xảy ra khi x = - y = z.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{x^{2}-xy}{x+y} = \frac{x(x+y)-2xy}{x+y} = x – \frac{2xy}{x+y}

Do x, y > 0 => \frac{2xy}{x+y} ≤ \frac{x+y}{2}

Suy ra: \frac{x^{2}-xy}{x+y} ≥ x - \frac{x+y}{2} = \frac{x-y}{2}

Tương tự ta cũng có: \frac{y^{2}-yz}{y+z} ≥ \frac{y-z}{2}; \frac{z^{2}-zx}{z+x}  ≥ \frac{z-x}{2}

Từu đó suy ra: \frac{x^{2}-xy}{x+y} + \frac{y^{2}-yz}{y+z} + \frac{z^{2}-zx}{z+x} ≥ \frac{x-y}{2} + \frac{y-z}{2} + \frac{z-x}{2}   = 0

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết