Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 993

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{2}{a^{4}} + \frac{2}{b^{4}} + \frac{3}{(a-b)^{2}}

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{2}{a^{4}} + \frac{2}{b^{4}} + \frac{3}{(a-b)^{2}}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{17}{6}
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là- \frac{13}{8}
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{13}{8}
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{15}{6}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết 0 < ab ≤  4 ta có

P ≥ \frac{a^{2}b^{2}}{16}(\frac{2}{a^{4}}+\frac{2}{b^{4}}) + \frac{ab}{4}.\frac{3}{(a-b)^{2}} = \frac{1}{8}(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}}) + \frac{3}{4}.\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}

Đặt t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}. Khi đó t ≥ 2 và P≥ \frac{1}{8}(t2-2) + \frac{3}{4}.\frac{1}{t-2} = \frac{1}{8}t2 + \frac{3}{4}.\frac{1}{t-2} - \frac{1}{4}.

Xét hàm f(t) = \frac{1}{8}t2 + \frac{3}{4}.\frac{1}{t-2} - \frac{1}{4} trên (2;+∞). Ta có

             f'(t) = \frac{1}{4}t - \frac{3}{4}.\frac{1}{(t-2)^{2}}; f'(t) = 0⇔ t(t-2)^{2} = 3 ⇔ t = 3

Vì \lim_{t\rightarrow2^{+}}f(t) =\lim_{t\rightarrow+\infty}f(t) = +∞ nên \min_{(0;+\infty)}f(t) = f(3) = \frac{13}{8}

Suy ra P ≥ \frac{13}{8}, dấu đẳng thức xảy ra khi \left\{\begin{matrix}ab=4\\t=3\end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix}ab=4\\a+b=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.

hay \begin{bmatrix}a=\sqrt{5}-1,b=\sqrt{5}+1\\a=\sqrt{5}+1,b=\sqrt{5}-1\end{bmatrix}

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{13}{8}.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết