Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13749

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. P =frac{1}{sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}} - frac{2}{(a+1))(b+1)(c+1)}

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. 

P =frac{1}{sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}} - frac{2}{(a+1))(b+1)(c+1)}


A.
Pmax = 3
B.
Pmax = 1
C.
Pmax = frac{1}{5}
D.
Pmax = frac{1}{4}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:

a2 + b2 + c2 + 1 ≥ frac{1}{2}(a + b)2 + frac{1}{2}(c + 1)2  ≥ frac{1}{4}(a + b + c + 1)2

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤ (frac{a+b+c+3}{3})^{2}

Suy ra P ≤ frac{2}{a+b+c+1} - frac{54}{(a+b+c+3)^{3}}

Đặt t = a + b + c , t > 1. Khi đó ta có P ≤ frac{2}{t} - frac{54}{(t+2)^{3}}

Xét hàm số f(t) = frac{2}{t} - frac{54}{(t+2)^{3}} trên (1;+∞) ta có:

f'(t) = -frac{2}{t^{2}} + frac{54}{(t+2)^{3}} = 0 <=> 9t = (t + 2)2 <=> begin{bmatrix} t=1\t=4 end{matrix}

f'(t) > 0 <=> 1 < t < 4

Suy ra bảng biến thiên:

Dựa vào BBT suy ra P ≤ frac{1}{4}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 4

<=> a = b = c = 1

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết