Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12270

Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c) = 4c2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{32a^{3}}{(b+3c)^{3}} +  \frac{32b^{3}}{(a+3c)^{3}} - \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{c}.

Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c) = 4c

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c) = 4c2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{32a^{3}}{(b+3c)^{3}} +  \frac{32b^{3}}{(a+3c)^{3}} - \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{c}.


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là 1 - √2.
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là - 1 + √2.
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là  - 1 - √2.
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là 1 + √2.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt x = \frac{a}{c}; y = \frac{b}{c}. Ta được x > 0, y > 0.Điều kiện của bài toán trở thành xy + x + y = 3.

Khi đó P = \frac{32x^{3}}{(y+3)^{3}} + \frac{32y^{3}}{(x+3)^{3}} - \sqrt{x^{2}+y^{2}}

Với mọi u > 0, v > 0 ta có u3 + v3 = (u + v)3 – 3uv(u + v) ≥ (u + v)3 – \frac{3}{4}(u + v)3 = \frac{(u+v)^{3}}{4}.

Do đó \frac{32x^{3}}{(y+3)^{3}} + \frac{32y^{3}}{(x+3)^{3}}≥ 8(\frac{x}{y+3} + \frac{y}{x+3})3 = 8( \frac{(x+y)^{2}-2xy+3x+3y}{xy+3x+3y+9})3

Thay xy = 3 – x – y vào biểu thức trên ta được 

\frac{32x^{3}}{(y+3)^{3}} +\frac{32y^{3}}{(x+3)^{3}} ≥ 8( \frac{(x+y-1)(x+y+6)}{2(x+y+6)})3= (x + y – 1)3.

Do đó P ≥(x + y – 1)3 - \sqrt{x^{2}+y^{2}}= (x + y – 1)3 - \sqrt{(x+y)^{2}-2xy}

= (x + y -1)3 – \sqrt{(x+y)^{2}+2(x+y)-6}

Đặt t = x + y. Suy ra t > 0 và P ≥ (t – 1)3 – \sqrt{t^{2}+2t-6}

Ta có 3 = x + y + xy ≤ (x + y) + \frac{(x+y)^{2}}{4}= t + \frac{t^{2}}{4}  nên (t -2)(t + 6) ≥ 0.

Do đó t ≥ 2.

Xét f(t) = (t – 1)3 -\sqrt{t^{2}+2t-6} , với t ≥ 2.

Ta có f’(t) = 3(t – 1)2 – \frac{t+1}{\sqrt{t^{2}+2t-6}}

Với mọi t ≥ 2 ta có 3(t – 1)2 ≥ 3 và

\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}+2t-6}} = \sqrt{1+\frac{7}{(t+1)^{2}-7}} ≤ \sqrt{1+\frac{7}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}, nên f’(t) ≥ 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2} > 0.

Suy ra  f(t) ≥ f(2) = 1 - √2. Do đó P ≥  1 - √2.

Khi a = b =c thì P = 1 - √2. Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 1 - √2.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết