Skip to main content

Cho ba số a, b, c sao cho 0\\abc=1 \end{matrix}\right." align="absmiddle"> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \frac{bc}{a^{2}(b+c)} + \frac{ac}{b^{2}(a+c)} + \frac{ab}{c^{2}(b+a)}

Cho ba số a, b, c sao cho

Câu hỏi

Nhận biết

Cho ba số a, b, c sao cho \left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\abc=1 \end{matrix}\right. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \frac{bc}{a^{2}(b+c)} + \frac{ac}{b^{2}(a+c)} + \frac{ab}{c^{2}(b+a)}


A.
minA = \frac{3}{2} khi a = b = c = 1
B.
minA = \frac{1}{2} khi a = b = c = 1
C.
minA = -\frac{3}{2} khi a = b = c = 1
D.
minA = -\frac{1}{2} khi a = b = c = 1
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}, z = \frac{1}{c}. Khi đó:

Do acb = 1 ⇒ xyz = 1 nên ta có A = \frac{x^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}}{z+x} + \frac{z^{2}}{x+y}      (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có:

A =  \frac{x^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}}{z+x} + \frac{z^{2}}{x+y}  ≥ \frac{x+y+z}{2} ≥ \frac{3}{2} \sqrt[3]{xyz} = \frac{3}{2}

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy minA = \frac{3}{2} khi a = b = c = 1

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1