Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm GTNN của biểu thức
P = 4(
+
+
) + 15abc
Câu hỏi
Nhận biếtCho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm GTNN của biểu thức
P = 4( + + ) + 15abc
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có:
a2 ≥ a2 – ( b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) (1)
b2 ≥ b2 – ( c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) (2)
c2 ≥ c2 – ( a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b) (3)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1),(2),(3) đều dương.
Nhân vế với vế (1),(2),(3) ta được:
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) (*)
Từ a + b + c = 2 nên (*) tương đương với abc ≥ (2 - 2a)(2 -2b)(2 - 2c)
<=> 8 - 8(a + b + c) + 8 (ab + bc + ca) - 9abc 
0
<=> 8 + 9abc - 8(ab + bc + ca) ≥ -8 (**)
Ta có : 
+ 
+ 
= (a + b + c)3 - 3(a + b + c) (ab + bc + ca) + 3abc
= 8 - 6(ab + bc + ca) + 3abc
Từ đó 4( + + ) + 15abc = 7abc - 24(ab + bc + ca) + 32 ≥ 3.(-8) + 32 = 8.
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c= 
.
Do đó GTNN của P = 8 khi a=b=c= .
Ta có:
a2 ≥ a2 – ( b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) (1)
b2 ≥ b2 – ( c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) (2)
c2 ≥ c2 – ( a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b) (3)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1),(2),(3) đều dương.
Nhân vế với vế (1),(2),(3) ta được:
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) (*)
Từ a + b + c = 2 nên (*) tương đương với abc ≥ (2 - 2a)(2 -2b)(2 - 2c)
<=> 8 - 8(a + b + c) + 8 (ab + bc + ca) - 9abc 0
<=> 8 + 9abc - 8(ab + bc + ca) ≥ -8 (**)
Ta có : + + = (a + b + c)3 - 3(a + b + c) (ab + bc + ca) + 3abc
= 8 - 6(ab + bc + ca) + 3abc
Từ đó 4( + + ) + 15abc = 7abc - 24(ab + bc + ca) + 32 ≥ 3.(-8) + 32 = 8.
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c= .
Do đó GTNN của P = 8 khi a=b=c= .
Câu hỏi liên quan
-
Giải phương trình (1-
).![\sqrt[3]{2-x}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1031/75_220_2.gif)
= x. -
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Giải phương trình
=
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=