Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 33446

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn (a+ b +c)(b+ c - a)(c+ a -b)= 1 Chứng minh rằng: (\frac{a+b+c}{3})^{5} ≥  \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn (a+ b +c)(b+ c - a)(c+ a -b)= 1<

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn (a+ b +c)(b+ c - a)(c+ a -b)= 1

Chứng minh rằng: (\frac{a+b+c}{3})^{5} ≥  \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}


A.
Xảy ra khi a = b 
B.
Xảy ra khi a = b = c
C.
Xảy ra khi b = c =1
D.
Xảy ra khi a = b = c =1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt x= a + b - c ; y= b+ c -a; z = c + a -b => xyz = 1 =>  x; y; z > 0

Và  a = \frac{x+z}{2},b = \frac{x+y}{2}; c = \frac{y+z}{2}. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

(\frac{x+y+z}{3})^{5} ≥ \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx}{6}

= \frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{xy+yz+zx}{6}

Áp dụng bất đẳng thức Cô si: xy +yz + zx ≥  3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}= 3

 

=> \frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{xy+yz+zx}{6}  ≤ \frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{1}{2}.

Ta cần chứng minh: (\frac{x+y+z}{3})^{5} ≥  \frac{(x+y+z)^{2}}{6} - \frac{1}{2}.

Đặt \frac{x+y+z}{3} = t với t ≥   1

Xét hàm số f(t) = t5 - \frac{3}{2}t2  + \frac{1}{2} với t ≥   1 => f'(t)= 5t4 -3t > 0 ∀ t ≥   1

 => f'(t) luôn đồng biến ∀ t ≥   1 => f'(t) ≥ f(1)= 0  => t5 ≥   \frac{3}{2}  t2 - \frac{1}{2} đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c =1

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết