Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40156

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn  a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)} .

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn  a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)} .


A.
- \dpi{80} \frac{4}{8}
B.
\dpi{80} \frac{4}{9}
C.
- \dpi{80} \frac{9}{4}
D.
\dpi{80} \frac{9}{4}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a5 + a5 + 1 + 1+ 1 ≥ 5 \sqrt[5]{a^5 . a^5 . 1 . 1 . 1} = 5a2 .

b5 + b5 +  1 + 1 + 1 ≥ 5 \sqrt[5]{b^5 . b^5 . 1 . 1 . 1} = 5b2 .

=> 2a5 + 2b5 + 6 ≥  5a2 + 5b2 <=> a2 + b2 ≤ 2

Do đó P ≥ \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy.2} = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} + \frac{12}{xy}

Xét hàm số f(x) = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} + \frac{12}{xy} với x ∈ (0; 4] và y là tham số

Ta có f'(x) = \frac{x^2 - 2y^2 - 24}{2x^2y} ≤ \dpi{80} \frac{4^{2}-2.0^{2}-24}{2x^{2}y} \frac{-8}{2x^2y} < 0 ∀x, y ∈ (0; 4]

=> f(x) nghịch biến trên (0; 4] => f(x) ≥ f(4)

=> P ≥ f(4) = \frac{2}{y} + \frac{y}{4} + \frac{3}{y} = \frac{y}{4} + \frac{5}{y} = g(y) với y ∈ (0; 4]

g'(y) = \frac{-5}{y^2} + \frac{1}{4} ≤  \frac{1}{4} + \frac{-5}{16} = \frac{-1}{16} < 0 ∀y ∈ (0; 4]

=> g(y) nghịch biến trên (0; 4] => g(y) ≥ g(4) = \dpi{80} \frac{5}{4} + 1 = \dpi{80} \frac{9}{4}

vậy min P = \dpi{80} \frac{9}{4} khi a = b = 1 và x = y = 4 .

 

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết