Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3921

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức      \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}} + \frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}  ≤ 1.    

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức &n

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức
     \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}} + \frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}  ≤ 1.
   


A.
 a + b = c
B.
 a - b = c
C.
a + b + c
D.
 a = b = c.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước hết chứng minh với a, b là các số dương:

( a + b )( a + c ) - (\sqrt{ab} + \sqrt{ac})2 = a2 + bc - 2a\sqrt{bc}  = ( a - \sqrt{bc})2  ≥ 0

=> ( a + b )( a + c )  ≥ (\sqrt{ab} + \sqrt{ac})2

=> \sqrt{(a+b)(a+c)}  ≥ \sqrt{ab} + \sqrt{ac} ; 

Dấu bằng xảy ra khi a = \sqrt{bc} 
=> \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} ≤ \frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} (1)

Hoàn toàn tương tự:

  \frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}} ≤ \frac{b}{b+\sqrt{bc}+\sqrt{ba}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}} (2)

Dấu bằng xảy ra khi b = \sqrt{ac};

\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}} ≤ \frac{c}{c+\sqrt{ca}+\sqrt{cb}} = \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}} (3)

Dấu bằng xảy ra khi c = \sqrt{ab}. Từ (1), (2) và (3) suy ra :

  \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}  + \frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}  ≤ 1
Dấu "=" xảy ra khi a2 = bc, b2 = ac, c2 = ab => a3 = b3 ; b3 = c3 => a = b = c.


Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết