Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16566

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: small F=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}+ab-(a+b)^{2}

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: small F=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}+ab-(a+b)^{2}


A.
max F = small frac{3}{sqrt{10}}+frac{1}{3}
B.
max F = small frac{3}{sqrt{10}}+frac{1}{9}
C.
max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9}
D.
max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{3}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

(a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0 ⇔ small frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(1-a)(1-b) (*)

Ta có: small frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(frac{a^{2}}{b}+frac{b^{2}}{a})(a+b)geq 2sqrt{ab}.2sqrt{ab}=4ab

(1-a)(1-b) = 1-(a+b)+ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Khi đó: từ (*) suy ra 4ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Đặt ab=t (t>0) ta được 4t ≤ 1 - 2√t + t ⇔ 0 < t ≤ small frac{1}{9}

Ta có: small frac{1}{1+a^{2}}+frac{1}{1+b^{2}}leq frac{2}{1+ab}

⇔ small (frac{1}{1+a^{2}}-frac{1}{1+ab})+(frac{1}{1+b^{2}}-frac{1}{1+ab})leq 0

⇔ small frac{(a-b)^{2}.(ab-1)}{(1+ab)(1+a^{2}).(1+b^{2})}leq 0 luôn đúng với mọi a,b ∈ (0;1)

Mặt khác:

small frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}+frac{1}{sqrt{1+b^{2}}}leq sqrt{2(frac{1}{1+a^{2}}+frac{1}{1+b^{2}})}leq sqrt{2.frac{2}{1+ab}}=frac{2}{sqrt{1+ab}}

và: ab – a2 – b2 = ab – (a-b)2 ≤ ab nên:

small Fleq frac{2}{sqrt{1+ab}}+ab=frac{2}{sqrt{1+t}}+t

Xét f(t)= small frac{2}{sqrt{1+t}}+t với 0 < t ≤ small frac{1}{9} ta có: f'(t) >0 với mọi 0 < t ≤ small frac{1}{9}

=> f(t) ≤ f(small frac{1}{9}) = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=small frac{1}{3}

Vậy max F = small frac{6}{sqrt{10}}+frac{1}{9} đạt được khi a=b=small frac{1}{3}

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết