Trong không gian, với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1 ; -1 ; 0), B(0 ; 6 ; -3) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y - z - 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên (P) để |MA - MB| nhỏ nhất.
Câu hỏi
Nhận biếtTrong không gian, với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1 ; -1 ; 0), B(0 ; 6 ; -3) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y - z - 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên (P) để |MA - MB| nhỏ nhất.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 365
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P), ∀ M ∈ (P) ta có MA = MA' nên |MA - MB| = |MA' - MB| ≤ A'B (*). Dấu "=" xảy ra ⇔ M, A', B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn A'B, tức là M ≡ M0 = A’B ∩ (P); khi đó |MA – MB| lớn nhất.
Hạ AH ⊥ (P) tại H, thì AH: 
⇒ H(-1 + t ; -1 + 2t ; -t) (tham số t)
H ∈ (P) ⇒ (-1 + t) + 2(-1 + 2t) - (-t) - 3 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H(0 ; 1 ; -1)
H là trung điểm của A'A ⇒ tọa độ A' là A'(1 ; 3 ; 2)
BM0 : 
⇒ tọa độ M0 (s ; 6 - 3s ; -3 + s) (s là tham số)
M0 ∈ (P) ⇒ s + 2(6 - 3s) - (-3 + s) - 3 = 0 ⇔ s = 2 ⇒ M0 (2 ; 0 ; -1)
Rõ ràng xB < xA’ < xM0 nên M0 nằm ngoài đoạn BA’ và dấu “’=” xảy ra
⇒ M0 (2 ; 0 ; 1) là điểm cần tìm
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P), ∀ M ∈ (P) ta có MA = MA' nên |MA - MB| = |MA' - MB| ≤ A'B (*). Dấu "=" xảy ra ⇔ M, A', B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn A'B, tức là M ≡ M0 = A’B ∩ (P); khi đó |MA – MB| lớn nhất.
Hạ AH ⊥ (P) tại H, thì AH: ⇒ H(-1 + t ; -1 + 2t ; -t) (tham số t)
H ∈ (P) ⇒ (-1 + t) + 2(-1 + 2t) - (-t) - 3 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H(0 ; 1 ; -1)
H là trung điểm của A'A ⇒ tọa độ A' là A'(1 ; 3 ; 2)
BM0 : ⇒ tọa độ M0 (s ; 6 - 3s ; -3 + s) (s là tham số)
M0 ∈ (P) ⇒ s + 2(6 - 3s) - (-3 + s) - 3 = 0 ⇔ s = 2 ⇒ M0 (2 ; 0 ; -1)
Rõ ràng xB < xA’ < xM0 nên M0 nằm ngoài đoạn BA’ và dấu “’=” xảy ra
⇒ M0 (2 ; 0 ; 1) là điểm cần tìm
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Giải phương trình (1-
).![\sqrt[3]{2-x}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1031/75_220_2.gif)
= x. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.