Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 8511

Cho các số thực dương a, b,c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng : \frac{a^{2}+b}{b+c} + \frac{b^{2}+c}{c+a} + \frac{c^{2}+a}{a+b}≥ 2.

Cho các số thực dương a, b,c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b,c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng : \frac{a^{2}+b}{b+c} + \frac{b^{2}+c}{c+a} + \frac{c^{2}+a}{a+b}≥ 2.


A.
Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \frac{1}{3}(đpcm)
B.
Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi - a = b = c = \frac{1}{3}(đpcm)
C.
Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = - c = \frac{1}{3}(đpcm)
D.
Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = - b = c = \frac{1}{3}(đpcm)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{a^{2}+b}{b+c} =  \frac{a(1-b-c)+b}{b+c} = \frac{a+b}{b+c} - a

Tương tự , BĐT đã cho trở thành:

\frac{a+b}{b+c} - a + \frac{b+c}{c+a}  - b + \frac{c+a}{a+b} - c ≥ 2 ⇔\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{c+a} +\frac{c+a}{a+b} ≥ 3

Theo bất đẳng thức Cô – si ta có:

\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{c+a} + \frac{c+a}{a+b} ≥ 3\sqrt[3]{\frac{a+b}{b+c}.\frac{b+c}{c+a}.\frac{c+a}{a+b}} = 3

Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \frac{1}{3}(đpcm)

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết