Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 7837

Cho số phức z thỏa mãn z+\sqrt{2}i có một acgumen bằng một acgumen của z+\sqrt{2} cộng với \frac{\pi }{4}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  T=|z+1|+|z+i|

Cho số phức z thỏa mãn z+

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn z+\sqrt{2}i có một acgumen bằng một acgumen của z+\sqrt{2} cộng với \frac{\pi }{4}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  T=|z+1|+|z+i|


A.
T max=\sqrt{3}
B.
T max=2\sqrt{5}
C.
T max=2\sqrt{3}
D.
T max=\sqrt{5}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z=x-yi. Khi đó z+\sqrt{2}i có một acgumen bằng một acgumen của z+\sqrt{2} cộng với \frac{\pi }{4} nên \frac{z+\sqrt{2}i}{z+\sqrt{2}}=r(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4}) với r>0

Ta có \frac{z+\sqrt{2}i}{z+\sqrt{2}}=\frac{x+(y+\sqrt{2})i}{(x+\sqrt{2})+yi}

= \frac{[x+(y+\sqrt{2})i].[(x+\sqrt{2})-yi]}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}

=\frac{x(x+\sqrt{2})+y(y+\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}} + \frac{(x+\sqrt{2})(y+\sqrt{2})-xy}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}i

Suy ra

= \frac{x(x+\sqrt{2})+y(y+\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}=\frac{(x+\sqrt{2})(y+\sqrt{2})-xy}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}} >0

<=> \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2\\(x+2)^{2}+y^{2}\neq 0 \\x+y+\sqrt{2}>0 \end{matrix}\right.

Ta có:

T=|z+1|+|z+i|= |(x+1)+yi|+|x+(y+1)i|

= \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}

=\sqrt{3+2x}+\sqrt{3+2y}

Áp dụng BĐT cô-si ta có:

T2 ≤2(6+2x+2y) ≤2(6+2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})  20

Suy ra T≤ 2\sqrt{5}, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=1

Vậy giá trị lớn nhất của T là 2\sqrt{5}, đạt khi z=1+i

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết